第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值

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问题描述

给定一棵包含 N 个节点的完全二叉树,树上每个节点都有一个权值,按从上到下、从左到右的顺序依次是 A1,A2,⋅⋅⋅AN,如下图所示:
第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值_第1张图片

现在小明要把相同深度的节点的权值加在一起,他想知道哪个深度的节点权值之和最大?

如果有多个深度的权值和同为最大,请你输出其中最小的深度。

注:根的深度是 1。

输入格式

第一行包含一个整数 N。

第二行包含 N 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅AN。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

1≤N≤105,
−105≤Ai≤105

输入样例:

7
1 6 5 4 3 2 1

输出样例:

2

思路

这道题需要我们找出结点权值之和最大的那一层,这就要通过层次遍历去计算,提到层次遍历就肯定要用到队列。但是在这道题中,队列中存储的不是结点的结构体,而是下标,因为该题给定的二叉树用数组来表示,我们回顾一下用数组来表示二叉树的性质(假设下标从 1 开始,即根结点存储在下标为 1 的位置):

  • 当结点下标为 i 时,其左结点的下标为 2i
  • 当结点下标为 i 时,其右结点的下标为 2i+1

由于本题保证二叉树是完全二叉树,故不用担心结点之间是否存在空结点。

拿题目的样例举例,下标为 1 的位置存储的是根结点的权值 1,其左结点在下标为 2*1=2 的位置,权值为 6;其右结点在下标为 2*1+1=3 的位置,权值为 5。

第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值_第2张图片

再看下标为 2 的结点,其权值为 6,它的左结点在下标为 2*2=4 的位置,权值为 4;它的右结点在下标为 2*2+1=5 的位置,权值为 3。

第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值_第3张图片

其它结点同理,那么我们现在就可以得到一颗完全二叉树。

第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值_第4张图片

所以我们就可以通过下标来找到每个结点的左右结点,故在队列中存储的是每个结点的下标,来看步骤:

  1. 首先,把根结点下标 1 推入队列。
  2. 计算每一层的结点权值之和,按照宽度优先搜索的方式进行查询并计算,具体细节参考代码部分。注意,当权值之和出现相等的时候,取其中最小的深度。
  3. 输出结点权值之和最大的深度。

第十届蓝桥杯省赛 C++ A/B组 - 完全二叉树的权值_第5张图片

代码

#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 100010;
int a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++)    scanf("%d", &a[i]);

    queue<int> q;
    q.push(1);
    int ans, height = 0;
    LL maxsum = -0x3f3f3f3f;
    while (!q.empty())
    {
        height++;
        LL cnt = 0;
        int k = q.size();
        //计算该层权值之和
        while (k--)
        {
            int t = q.front();
            q.pop();
            cnt += a[t];	//加上该结点的值
            if (t * 2 <= n)  q.push(t * 2);				//推入左结点
            if (t * 2 + 1 <= n)    q.push(t * 2 + 1);	//推入右结点
        }
        //更新最大值
        if (cnt > maxsum)
        {
            maxsum = cnt;
            ans = height;
        }
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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