能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，他们都可用二重积分来表达，其和称为能量积分.
膜的动能为

其中是薄膜在平面上的投影区域.

膜的位能为

薄膜总能量可以写成

在没有外力的作用下，总能量应该守恒，因此有

因此可以推出初边值问题的解的唯一性.
这里的初边值问题指的是：

Thm1

波动方程初边值问题得解如果存在的话，它一定是唯一的.

能量不等式(能量估计式)：

这个估计式是在假设解存在的前提下得到的，在偏微分方程理论中具有这种特点的估计式均成为先验估计式.

我们常以和分别表示和

Thm2

波动方程初边值问题的解在下述意义下关于初始值与方程右端项是稳定的：对任意给定的，一定可以找到仅依赖于和的，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|f_2-f_2\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}\leqslant\eta \end{aligned}$
那么以为初值，为有段项的解与以为初值、为右端项的解之差在上满足
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$

这个有点懵

Thm3

波动方程取初始条件

的柯西问题的解是唯一的.

Thm4

波动方程取初始条件

的柯西问题的解在下述意义下关于初始值是稳定的：对于任何给定的，一定可找到仅依赖于的，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta \end{aligned}$
则对应于初始值的解与对应于初始值的解的差在上成立
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega_{t})}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$
又在锥体上成立
.

这一节也很懵.

能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性