数学知识——欧拉函数

1. 欧拉函数
定义：欧拉函数ψ(n) 表示1~n中与n互质的数的个数
公式：如果一个数可以被分解质因式为N = p₁^α1 *p₂^α2……p_k^αk
则ψ(n) = n(1 - 1/p₁)(1 - 1/p₂)…(1 - 1/p_k)
公式由容斥原理证明，证明略

算法实现思路： 利用求一个数的质因数的方法，结合公式求解
时间复杂度：O(√n）

例题：给定n个正整数a_i，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=p₁^a1p₂^a2…p_m^am，则：
ϕ(N) = N∗(p₁−1)/p₁∗(p₂−1)/p₂∗…∗(p_m−1)/p_m

输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数a_i。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数a_i的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤a_i≤2∗10⁹
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

#include
#include

using namespace std;

int main()
{
	int n; 
	cin >> n;

	while(n--)
	{
		int a;
		cin >> a;

		int res = a;
		for(int i = 2; i <= a / i; i++)
		{
			if(a % i == 0)
			{
				res = res / i * (i - 1);	// 公式，不写成res * (1 - 1 / i) 是因为避免小数出现导致错误
				while(a % i == 0) a /= i;
			}
		}
		if(a > 1) res = res / a * (a - 1);

		printf("%d\n", res);
	}
	return 0;
}			

2. 筛数法求欧拉函数
原理：在线性筛求质数的过程中，求出每个数的欧拉函数

例题： 给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤10⁶
输入样例：
6
输出样例：
12

#include
#include

using namespace std;

const int N = 100010;
typedef long long LL;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

LL get_eulers(int n)
{
	phi[1] = 1;		// 规定1的欧拉函数值为1
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(!st[i])
		{
			primes[cnt++] = i;
			phi[i] = i - 1;		// 如果是质数，那他前面所有的数都与他互质
		}
			
		for(int j = 0; primes[j] <= n / i; i++)
		{
			st[primes[j] * i] = true;
			if(i % primes[j] == 0) 
			{
				phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];	// 如果i % primes[j] == 0则primes[j]是primes[j] * i最小质因数，所以公式中只有n不同（欧拉函数与质因数的指数无关）
				break;
			}	
			phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);		// 如果i % primes[j] ！= 0 则primes[j]是比primes[j] * i最小质因数还小的一个因数，所以公式中n不同，还多一项（1- 1/ primes[j])
		}
	}

	LL res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
	return res;
}		
			
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	
	cout << get_eulers(n) << endl;
	return 0;
}	

3. 欧拉定理
若n,a为正整数，且n,a互质，则

定理证明：设1-n 中的n个互质的数是x₁， x₂, …, x_ψ(n)
则ax₁， ax₂, …, ax_ψ(n)中任意两个数对n取模不同余（反正法：如果两个数ax₁≡ax_q(mod n) 那么ax₁-ax_q = a(x₁-x_q) = pn.但是 a(x₁-x_q) 与n互质，所以矛盾）。
又因为x₁， x₂, …, x_ψ都不相同，则ax₁， ax₂, …, ax_ψ都不相同
所以：x₁， x₂, …, x_ψ = ax₁， ax₂, …, ax_ψ = a^ψ(n)(x₁， x₂, …, x_ψ(n))
所以：a^ψ(n) = 1 (mod n)

费马小定理：a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)