积性函数系列(一):欧拉函数

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积性函数系列(一):欧拉函数

NOVEMBER 14, 2014 AT 1:23 AM

本系列是数论篇章的第一篇(于是又挖了一个数论的坑orz),主要介绍、证明初等数论中一些重要的概念、结论。
在微积分学领域,积性函数指的是具有 f(ab)=f(a)f(b) 的函数,在数论领域这个概念略有不同,仅定义在正整数上,它揭示了整数的很多性质。废话不多说,直奔主题。

为了区分通常意义上的函数,我们定义算数函数:

定义1.1 定义在所有正整数上的函数称为算数函数。
在整个积性函数篇里,不加说明地,我们总是讨论算数函数。

定义1.2 算术函数 f 如果满足对于任意两个互质的正整数 m n ,均有 f(mn)=f(m)f(n) ,就称 f 为积性函数(或乘性函数)。如果对于任意两个正整数 m n ,均有 f(mn)=f(m)f(n) ,就称为完全积性函数。

很容易找到一些trivial的积性函数,如 f(n)=1,f(n)=n,f(n)=n2 ,事实上所有的幂函数都是积性函数。

结合积性函数的定义和算数基本定理,很容易得到下面的定理:

定理1.1 如果 f 是一个积性函数,对于任意的正整数 n 有素数幂分解 n=p1a1p2a2...psas ,那么有 f(n)=f(p1a1)f(p2a2)...f(psas)
证明:略,使用数学归纳法即可。

好了,介绍完了积性函数的基本概念,就开始介绍今天的主角,欧拉函数,它也被称为欧拉 ϕ 函数。顾名思义,它是由欧拉首先研究的。

定义1.3 欧拉函数 ϕ(n) 定义为不超过 n 且和 n 互质的正整数的个数。

下面我们就来探讨欧拉函数在各个点上的取值。很容易得到对于素数 p ϕ(p)=p1 ,那么反过来是不是也成立呢?

定理1.2 如果 p 是素数,那么 ϕ(p)=p1 .反之,如果 p 是正整数且满足 ϕ(p)=p1 ,那么 p 是一个素数。
证明:前句可由互质定义得到,我们只证明后句。若 p 不是素数,那么或是1或是合数。而 ϕ(1)=1 ,但若 p 是合数,得有因子 0<d<p ,而 p 不与自身互质,这使得和 p 互质的数至多只有 p2 个,所以也不可能,故 p 是素数。

我们再进一步,看欧拉函数在素数的幂下的取值。实际上和素数幂 pn 不互质的只有 p 的倍数,一共有 pn/p=pn1 个,故 ϕ(pn)=pnpn1

定理1.3 如果 p 是素数,那么 ϕ(pn)=pnpn1

接下来我们讨论更一般的情况,为此,我们需要证明欧拉函数是一个积性函数。定理的证明依赖于同余的一些简单性质,由于本文是本系列的第一篇,所以这里尽量把需要用到的性质先给证一证。如果你对这些性质比较清楚,可以直接跳过下面的补充部分,直接进入定理的证明。

定义1.4 一个模 m 完全剩余系是一个整数的集合,使得任意整数恰和此集合中的一个元素模 m 同余。

引理1.4  m 个模 m 不同余的整数的集合构成一个模 m 的完全剩余系。
证明: 假设 m 个模 m 不同余的整数的集合不是一个模 m 的完全剩余系。那么可能存在整数 a ,使得集合中存在不止一个元素和 a 同余,但由于同余的性质,如果 a b m 同余,且 a c m 同余,那么必有 b c m 同余,和假设不符;那么可能存在整数 a ,使得集合中不存在元素和 a 同余,但模 m 的余数只有 m 种可能, a 否定了一种可能,意味着集合里的元素模 m 至多只有 m1 个值,但集合中的 m 个元素互不同余,应有 m 个不同的值,和假设不符。故原假设成立。

由上述引理,容易得到 0,1,2,3,...,m1 是模 m 的一个完全剩余系。

引理1.5 若 r1,r2,...,rm 是模 m 的一个完全剩余系,且正整数a满足 gcd(a,m)=1 ,则对任意整数b, ar1+b,ar2+b,...,arm+b 都是模 m 的完全剩余系。
证明:由引理1.4,我们只需证明这m个数互不同余。取任意两个元素 ri,rj,ij 相减,得 ari+b(arj+b)=a(rirj) .
若我们有 ariarj(mod m) , 基于同余的性质,在 gcd(a,m)=1 的情况下,两边可以约去 a ,于是得到 rirj(mod m) ,这和假设矛盾,故 ari,arj  不同余,故引理成立。

有了引理1.5后,我们就可以比较方便地证明定理1.6。

定理1.6 设m,n是两个互质的正整数,那么 ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n) .
证明:我们将 1,2,...,mn 从上往下,从左往右依次排列,每一列写m个数:
1  m+1 2m+1 ... (n1)m+1
2  m+2 2m+2 ... (n1)m+2
...
r  m+r 2m+r ... (n1)m+r
...
m  2m  3m     ...  nm
从行的角度观察上式,考察第 r 行,由于 m m 不互质,所以如果 r 不和 m 互质的话,整行都不与 mn 互质,所以实际上我们只需考虑 ϕ(m) 行。而对于这些 r m 互质的行,每一行实际上构成模 n 的完全剩余系,我们研究某行,为了方便,同样记为 r 。取第 k 个元素,即 (k1)m+r ,记 (k1)m+r mod m=d .
如果d和m互质,那么有 (k1)m+rd=λm 可知, (k1)m+r m 也互质,否则存在的因子必是 d 的因子(同除以该因子,两边应均为整数);反之,如果 d m 不互质, (k1)m+r m 也不互质, d m 的公因子也是它们的公因子。于是每一行都有 ϕ(n) 个因子。定理得证。

结合定理1.3和定理1.6,以及算数基本定理,我们可以求得任意正整数的欧拉函数值。

定理1.7 设 n=p1a1p2a2...pkak 为正整数n的素数幂分解,那么 ϕ(n)=n(11/p1)(11/p2)...(11/pk) .
证明:由定理1.1和1.6可得, ϕ(n)=ϕ(p1a1)ϕ(p2a2)...ϕ(pkak) .由定理1.3可得, ϕ(pkak)=pkpk1 ,于是有
ϕ(n)=p1a1p2a2...pkak(11/p1)(11/p2)...(11/pk)
=n(11/p1)(11/p2)...(11/pk)

至此我们已经掌握了欧拉函数的值得求法。你是否对这么多的证明感到厌烦了,在进一步讨论欧拉函数的性质之前,我们转换一下角度,从程序设计的角度入手,看看如何实现计算欧拉函数。如果你对程序设计不感兴趣,可以直接跳过这部分内容。计算单个欧拉函数值的过程实际上就是对正整数 n 进行分解的过程,我们从2开始从小到大寻找 n 的因子,显然找到的最小的因子必是素数(否则会有更小的素因子),找到后把这个素因子全部约去,并计算 (11/p1) ,然后接着向前,由于之前的因子已经消去,我们仍能保证找到的因子是素数。完整的代码如下:

int euler(int x){
    int res = x;
    for(int i=2; i<(int)sqrt(x*1.0)+1; ++i)
        if(x % i == 0){
             res = res / i * (i - 1);
             while(x % i == 0) x /= i;
         }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

下面给出求 1..maxn 的所有欧拉函数值的程序,也非常简单,这里不再解释了。

for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i;
for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2;
for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
    if(phi[i] == i){
        for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
    }

短暂的休息之后接着回到欧拉函数的性质中来。下面的定理表明,除了 n=1,2 ϕ(n) 都是偶数。

定理1.8 设 n 是一个大于2的正整数,那么 ϕ(n) 是偶数.
证明:由定理1.1和1.2可知,大于2的素数都是偶数,而所有高于1次的素数幂(包括2)都是偶数,而由定理1.7,所有大于2的合数的欧拉函数都可以分解成素数幂的乘积,所以也必定是偶数。

最后我们介绍一个非常重要的概念,和函数,它在后续的内容中也会发挥作用。

定义1.5 设 f 是一个算数函数,那么记 F(n)=d|nf(d) 代表 f n 中所有正因子处的值的和,则 F 称为 f 的和函数。

对于欧拉函数而言,它的和函数有很好的性质:

定理1.9 设 n 为一个正整数,那么 d|nϕ(d)=n .
证明:我们1..n的整数按照与n的最大公约数划分成若干个不相交的类,最大公约数为d的类记为 Cd 。那么 md 当且仅当 gcd(n,m)=d ,或者说 gcd(n/d,m/d)=1 ,由于 1<=m<=n m/d 可以取到 1..n/d 的所有数,于是符合条件的m的个数即为 ϕ(n/d) 。于是有
F(n)=d|nf(n/d) ,而 n/d 实际上取尽了n的所有因子,于是等价于 d|nf(d) ,定理得证。

关于积性函数和欧拉函数的基础讨论就到这里了,本系列的下一节将介绍其它的积性函数以及有趣的梅森素数。

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