【算法竞赛学习笔记】博弈论（二）——SG函数及经典问题

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title : 博弈论（二）
date : 2021-11-6
tags : ACM,数学,博弈论
author : Linno

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前置芝士——SG函数

可以看我上一篇博客：https://blog.csdn.net/SC_Linno/article/details/121181361

首先给出一种ICG博弈游戏模型，给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。

将ICG问题进行转换：任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。

于是我们可以通过将ICG问题转换为上述这个游戏，再通过寻找这个游戏的一遍解法来解决ICG问题。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3,mex{2,3,5}=0,mex{}=0;

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的SG函数如下：

sg(x)=mex{sg(y)|y是x的后继}

步骤

一、找出必败态（SG值为0）

二、找到当前所有状态的前驱节点

三、根据定义计算节点SG值

重复上述步骤，直到整棵树建立完成

SG定理

游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

因此，当我们面对n个不同的游戏组成的游戏时，只需求出每个游戏的SG函数值把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略。

翻硬币问题

问题描述

N枚硬币排成一排，有的正面朝上，有的反面朝上。游戏者轮流根据某种约束翻硬币（每次只能翻一或两枚，或者只能翻连续的几枚），谁不能翻谁输。

结论

局面的SG值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在时的SG值的异或和。对于任意一个硬币的SG值为$2^k$（k为硬币编号）

树上删边

Green Hachenbush（树上公平删边游戏）

双方轮流在一棵树删删边，不再与根节点相连的部分会被移除。游戏中存在多棵树，最后无法删边的玩家失败。

如果这个游戏中所有的树都是没有分支的”竹子“，那么就变成了普通的Nim游戏，此时SG[x]=x。当我们知道了克朗原理，我们就可以将所有分支一根竹子，就转化成了普通的Nim游戏了。

克朗原理（Colon Principle）

对于树上的某一个点，ta的分支可以转化成以这个点为根的一根竹子，这个竹子的长度就是ta各个分支的边的数量的异或和。

图上删边

费森原理

（环上的点可以融合，且不改变图的SG值。）

一般来说，我们可以把一个带有奇数边的环等价成一个端点和一条边，而偶数边的环等价于一个点。

Christmas Game

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1007;
const int mod=1e9+7;

vectorG[N];
inline void addedge(int u,int v){
	G[u].push_back(v);
	G[v].push_back(u);
}

int n,m,u,v,k,vis[N],SG[N];
int stk[N],top;

void dfs(int x,int fa){
	stk[++top]=x;
	vis[x]=1;
	SG[x]=0;
	bool flag=0;
	for(int i=0;i>n){
		int ans=0;
		for(int p=1;p<=n;p++){
			cin>>m>>k;
			for(int i=1;i<=m;i++) G[i].clear(),vis[i]=0;
			for(int i=1;i<=k;i++){
				cin>>u>>v;
				addedge(u,v);
			}
			dfs(1,0);
			ans^=SG[1];
		}
		if(ans) puts("Sally");
		else puts("Harry");
		
	}
	return 0;
}

参考资料

https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79311284

https://www.cnblogs.com/maoyiting/p/14169209.html#/cnblog/works/article/14169209

《组合游戏略述——浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形》