滑动窗口最大值:单调队列

239. 滑动窗口最大值

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给你一个整数数组 nums,有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。

返回 滑动窗口中的最大值

示例 1:

输入:nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], k = 3
输出:[3,3,5,5,6,7]
解释:
滑动窗口的位置                最大值
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7

示例 2:

输入:nums = [1], k = 1
输出:[1]

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -104 <= nums[i] <= 104
  • 1 <= k <= nums.length

思路:单调队列

​ ⚜️其实这道题的解法有不同种形式,但是绕不开的就是使用单调队列的思想,为什么呢❓❓❓

​ 因为如果这个时候我们不用单调队列的话,就是说我们每次去控制这个窗口里面的最大值,如果这个窗口很大,那么时间复杂度是非常高的,因为遍历一遍这个窗口获取最大值的时间复杂度是 O(k),而我们还得去遍历这个数组的元素,那么总和起来就是 O(n*k),这样子在这道题是会超时的!所以我们得使用单调队列的思想!

​ 那么我们得先了解一下,什么是单调队列!

什么是单调队列

单独队列本质还是一个队列,只是我们规定这个队列是一个单调递减或者单调递增队列!⚜️单调递减和递增是什么意思呢❓❓❓

​ 这里以单调递减为例,因为和我们这道题比较符合!我们举一个数学上面的例子 y = ax + b,我们知道递减就是函数在某个区间上面的 y 随着 x 的增大,而不断的减小或者相等,但是如果我们定义它为单调递减,那么这个函数则变成在 整个区间上面都是 y 随着 x 的增大而不断的减小

一般来说,单调队列使用 C++ 中的 deque 来实现会更好,因为其支持双端的插入删除以及获取双端元素!


​ ⚜️那么这道题要使用单调递减还是单调递增呢❓❓❓

​ 其实用单调递减会更加的符合滑动窗口的原理,我们保持从队头的元素开始,每个元素都大于其后面的元素,这样子像下图一样:

滑动窗口最大值:单调队列_第1张图片

​ 也就是我们**保持让队头的元素是整个队列里面最大的**!

​ ⚜️这样子有什么好处呢❓❓❓

​ 我们每次取当前窗口的最大值,那么就和这个队头元素有关系啦,但是我们得来维护一下这个队列,而不同方式维护就有了不同的实现方法,下面我们举两种方法,其中我觉得最好理解的就是第一种!

1、队列维护数组下标

滑动窗口最大值 | 图解单调队列 | 最清晰易懂的讲解【c++/java】

​ ⚜️为什么要维护数组的下标呢❓❓❓

​ 因为每次我们需要去控制这个窗口移动,并保持让队列中的元素都落于这个窗口内,所以我们得一直关注着队列中的元素的值是在 nums 数组中的哪个位置,会不会出界,这些问题都要考虑,所以我们干脆直接用队列来保存其数组的下标,然后比较大小也是非常方便,因为是数组,所以有了下标,我们直接通过 nums[i] 就能快速索引到对应的元素,根本不用担心效率问题!并且这样子也非常的好控制!

​ 下面我们来看看具体的步骤(下面步骤中默认我们的队列变量名叫做dq):

  1. 遍历 nums 数组的每个元素
  2. 每次遍历元素的时候,先循环判断一下队头元素在nums中位置是否已经掉出了窗口范围
    • 如果 i - k + 1 > dq.front(),说明队头元素已经不落在该窗口内了,我们就将队头pop掉!否则不用。
      • (值得解释一下的是这里的 i - k + 1 其实代表的就是窗口的第一个元素下标,也就是窗口的头位置!其中 dq.front() 代表的是队头元素在 nums 中的下标如果我们的窗口头位置都超过了这个队头元素的下标了,那么说明这个队头元素不是当前窗口内的!)
      • (还有值得注意的是这里可以进行循环判断,也可以不进行循环判断,因为我们每次都只会对 i 进行一次的 ++,但是为了代码上面看起来严谨,可以将其改为循环判断!)
  3. 控制新元素 nums[i] 加入的时候保持单调递减队列的规则
    • 如果 nums[i] > dq.back(),此时如果直接将 nums[i] 加入队列的话,会破坏单调递减的规则,所以我们要将 dq.back() 进行删除,并且不断循环判断,直到队列为空,或者遇到比 nums[i] 小或者等于的值为止
  4. 将 nums[i] 加入单调队列
  5. 最后判断一下是否已经到了满足窗口大小 k 的位置了
    • 是的话则开始向数组 vpush 进每次窗口最大的元素,也就是队头元素在 nums 中对应位置的元素!

​ **注意:队列中队头元素不一定是最大的,因为存放的不是数组中元素的值,而是其最大元素的下标!**

​ 其实这道题是相对比较复杂的,最好是自己先模拟这个过程!

​ 下面给出代码:

class Solution {
public:
    vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> v;
        deque<int> dq;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i)
        {
            // 1、控制窗口的元素大小不大于k个,若大于则pop掉队头
            while(dq.size() > 0 && i - k + 1 > dq.front())
                dq.pop_front();
            
            // 2、控制新元素加入的时候保持单调递减队列的规则
            // 若新元素大于其队尾的元素,那么则pop掉该元素,直到遇到比新元素大或者相等为止
            while(dq.size() > 0 && nums[i] > nums[dq.back()])
                dq.pop_back();
            
            // 3、将新元素加入队列
            dq.push_back(i);
            
            // 4、若其循环到满足窗口大小k的位置了,则开始向v中push进每次最大的元素,也就是队头元素
            // 其中因为i是下标而k是大小,所以i要加一
            if(i + 1 >= k)
                v.push_back(nums[dq.front()]);
        }
        return v;
    }
};

2、队列维护数组元素值

[C++]滑动窗口最大值–单调队列

​ 这种方法可能是我们会比较先于维护数组下标而想到的,因为通常来说我们都会先去想怎么存放这个值,而不是存放对应下标,也确实,这道题如果是维护元素的值,那么相对于第一种方法来说会更容易出错一点,因为我们得去控制这个窗口移动的时候于队列元素的关系,保持其一直是窗口内有效元素!

​ 既然队列要维护数组元素值,那么当然队头元素就和第一种方法不一样了,这次队头元素肯定是队列里面最大的,因为这是一个单调队列,并且其存放的本身就是元素的值而不是下标!

​ 下面是步骤:

  1. 首先可以维护队列保持单调递减,将 nums[i] 和队尾元素进行比较,若 dq.back() < nums[i] 说明需要 pop 掉队尾元素,和方法一类似!
  2. 将新元素加入队列
  3. 若其循环到满足窗口大小 k 的位置了,则开始向 vpush 进每次最大的元素,也就是队头元素,和方法一类似!
  4. 注意还要维护队列元素是否在窗口内有效(因为要进行 nums 索引,所以最好放到第三步这个判断语句中比较安全)

​ 其实和第一种方法大同小异,不同的就是它们的大小判断等等,最重要的是这个第四步,也就是控制这个队列中队头等元素是否还在合法的窗口区间内,如果不是的话则要进行删除,而我们并不容易判断这个区间,因为我们怎么知道队头元素对应 nums 中的下标呢❓❓❓

​ 其实这就是一个难点,所以我们要改变思路

​ 因为每次我们只让 i 累加一次,也就是每次遍历只会让 i 向后走一步,那么我们只需要跟着遍历每次的窗口第一个元素,是否和当前队头的元素一样,一样的话说明遍历下一个元素的时候,这个元素就已经不再是窗口内的元素了,所以我们就把这个队头元素给 pop 掉!而这个窗口的头位置就是 i-k+1 处,但是由于窗口一开始还没达到 k 个,所以要建立在条件是 i+1 >= k 的基础之上!

滑动窗口最大值:单调队列_第2张图片

class Solution {
public:
    vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> v;
        deque<int> dq;
        for(int i = 0; i < nums.size(); ++i)
        {
            // 1、首先可以维护队列保持单调递减,将nums[i]和队尾元素进行比较
            while(dq.size() > 0 && dq.back() < nums[i])
                dq.pop_back();
			
            // 2、将新元素加入队列
            dq.push_back(nums[i]);

            // 3、若其循环到满足窗口大小k的位置了,则开始向v中push进每次最大的元素,也就是队头元素
            // 其中因为i是下标而k是大小,所以i要加一
            if(i + 1 >= k)
            {
                v.push_back(dq.front());

                // 4、注意还要维护队列元素(因为要进行nums索引,所以最好放到if(i+1>=k)这个判断语句中比较安全)
                if(dq.size() > 0 && dq.front() == nums[i - k + 1])
                    dq.pop_front();
            }
        }
        return v;
    }
};

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