1.2 绝对误差、相对误差与有效数字

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• 本周目标：把算法设计与分析、计算机组成原理、概率论、数值计算方法所学的两章内容总结好规律，并做好每章习题分析，坚持每日letcode每日一题。

1.2.1 绝对误差和绝对误差限

若x*为准确值x的一个近似值，则称 x-x*为近似值x*的绝对误差，简称误差，并用e*(x)表示，

即e*(x)=x-x*

绝对误差虽然能清楚地表明近似值,与准确值之间的差异，但是在实际问题中,往往无法知道准确值x是多少;从而无法计算出绝对误差的大小,只能根据具体情况估计其绝对值的上限，即求一个正数*,使得

我的理解：

绝对误差限就是估计误差值即绝对误差的上界，用来估计误差值的

例子：

例如,D=(100士2）V 表示，

v*=100 V 是电压，的一个近似值，而2 V则是近似值V*的绝对误差限(这里错过在课后习题题目2出过类似的题目).

1.2.2 相对误差与相对误差限

在许多情况下,绝对误差的大小还不能刻画近似值的准确程度．(这句话是什么意思呢？)

例如，若有两个数

x1=100士2，x2=10±1，

则近似值北=100 的绝对误差限e*（x)=2是近似值x21=10的绝对误差限的两倍，但是不能就此断定，x1*的准确程度比x2*差,因为在 100 内差2显然比10 内差1更准确些．这说明一个近似值的准确程度，不仅与绝对误差的大小有关,还与准确值本身的大小有关。为此,需要引人相对误差的概念。

若x的近似值x*的绝对误差为e*(x),°（ ），则称比值°（a）为近似值』。的相对

误差，并用e(s）表示，即

是e

（的乎方级，可忽路不计，而且在实际计算中准确值x往往是不知道的-故常将

正确的公式：

作为近似值，”的相对误差.

(『和绝对误差类似，要计算相对误差的真值也常常难以办到,只能对其绝对值

的上限作出估计，即求正数 e，

，使

满足不等式（1.6）的正数 e

*称为近似值s*的相对误差限

相对误差与相对误差限都是无量纲数，常用百分数表示

例如，51=100‡2 的近仙值&，=100的相对误差的绝对值

1.2.3 有效数字与有效数字位数

在将一个近似值 x*写成如图1-2 所示形式时,为了同时反映其准确程度,常常用到“有效数宇”的概念。

若近似值x*,某位数的半个单位是它的误差限(这里考过重点标记：书本第一章第一题当时不会),而且从该位数字到x*,最左边的那个非零数宇共有几位(见图1-2),那么我们把这几 位数字都称为有效数字,并且说近似值。具有n位有效数字。

例如，对于x==3.141 59…,若取近似值x*=3.14则绝对误差的绝对值le* (a) = 0. 001 59-• <

x0.01,即百分位数宇4的半个单位(指之- x0.01) 是*的绝对误差限,故从。*最左边的非零数“3〞开始到百分位数宇“4”的三个数都是有效数宇，近似值。*具有三位有效数字

*1.2.4 有效数字、绝对误差、相对误差之间的关系（看不懂）

定理1 若用(1.7)式表示的近似值，“具有几位有效数宇，则其相对误差的绝对值满足不等式

定理2 若近似值x*的相对误差满足不等式