堆排序重建堆的时间复杂度_排序算法之 堆排序 及其时间复杂度和空间复杂度...
堆排序是由1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特.弗洛伊德(Robert W．Floyd)和威廉姆斯(J．Williams)在1964年共同发明了的一种排序算法( Heap Sort )；
堆排序(Heapsort)是指利用堆积树(堆)这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。
算法分析
其实这种算法看起来挺复杂，但是如果真正理解了就会感觉非常简单的；
基本思想：把待排序的元素按照大小在二叉树位置上排列，排序好的元素要满足：父节点的元素要大于等于其子节点；这个过程叫做堆化过程，如果根节点存放的是最大的数，则叫做大根堆；如果是最小的数，自然就叫做小根堆了。根据这个特性(大根堆根最大，小根堆根最小)，就可以把根节点拿出来，然后再堆化下，再把根节点拿出来，，，，循环到最后一个节点，就排序好了。
基本步骤：
其实整个排序主要核心就是堆化过程，堆化过程一般是用父节点和他的孩子节点进行比较，取最大的孩子节点和其进行交换；但是要注意这应该是个逆序的，先排序好子树的顺序，然后再一步步往上，到排序根节点上。然后又相反(因为根节点也可能是很小的)的，从根节点往子树上排序。最后才能把所有元素排序好；具体的操作可以看代码，也可以看看下面的图示：
实现代码
理解代码：i节点的孩子节点为 2i +1和 2i+2 ；i节点的 父节点为：(i-1)/2；最后一个非叶子节点：n/2 - 1；下面的代码是实现的大根堆，把元素从小到大依次排序；
#include
#define LEN 12
//打印数组
void print_array(int *array, int length)
{
int index = 0;
printf("array:\n");
for(; index < length; index++){
printf(" %d,", *(array+index));
}
printf("\n\n");
}
//堆化函数
void _heapSort(int *array, int i, int length)
{
int child, tmp;
//这个是改变了哪个节点，就从该节点开始对以该节点为根节点的子树进行排序
for (; 2*i + 1 < length; i = child){//依次到它的子树的子树。。。。
child = 2*i + 1;
if ((child +1 < length) && (array[child+1] > array[child])) child++;//选个最大的孩子节点
if (array[i] < array[child]){//最大子节点和父节点进行交互
tmp = array[i];
array[i] = array[child];
array[child] = tmp;
}else break;
}
}
void heapSort(int *array, int length)
{
int i, tmp;
if (length <= 1) return;//如果元素小于1，则退出
//这一步是先把元素都堆化好，后面的话 哪个节点修改过，就从哪个节点开始对以它为根节点的子树进行堆化
for (i = length/2 - 1; i >= 0; i--) _heapSort(array, i, length);//从第一个非叶子节点开始排序，一直到根节点
// 先抽取到根节点，然后再对元素进行堆化，然后又抽取根节点，再对元素进行堆化。。。。依次循环
for (i = 0; i < length; i++ ){
tmp = array[0];
array[0] = array[length-i-1];
array[length -i-1] = tmp;
_heapSort(array, 0, length-1-i);//堆化子树
}
}
int main(void)
{
int array[LEN] = {2, 1, 4, 0, 12, 520, 2, 9, 5, 3, 13, 14};
print_array(array, LEN);
heapSort(array, LEN);
print_array(array, LEN);
return 0;
}
运行结果：
时间复杂度
堆排序的时间复杂度，主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程；
初始化建堆过程时间：O(n)
推算过程：
首先要理解怎么计算这个堆化过程所消耗的时间，可以直接画图去理解；
假设高度为k，则从倒数第二层右边的节点开始，这一层的节点都要执行子节点比较然后交换(如果顺序是对的就不用交换)；倒数第三层呢，则会选择其子节点进行比较和交换，如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了，那么又要选择一支子树进行比较和交换；
那么总的时间计算为：s = 2^( i - 1 ) * ( k - i )；其中 i 表示第几层，2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素，( k - i) 表示子树上要比较的次数，如果在最差的条件下，就是比较次数后还要交换；因为这个是常数，所以提出来后可以忽略；
S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ===> 因为叶子层不用交换，所以i从 k-1 开始到 1；
这个等式求解，我想高中已经会了：等式左右乘上2，然后和原来的等式相减，就变成了：
S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)
除最后一项外，就是一个等比数列了，直接用求和公式：S = { a1[ 1- (q^n) ] } / (1-q)；
S = 2^k -k -1；又因为k为完全二叉树的深度，所以 (2^k) <= n < (2^k -1 )，总之可以认为：k = logn (实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn );
综上所述得到：S = n - longn -1，所以时间复杂度为：O(n)
更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)
推算过程：
1、循环 n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn - logn ；
综上所述：堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)
空间复杂度
因为堆排序是就地排序，空间复杂度为常数：O(1)
若有不正确之处，望大家指正，共同学习！谢谢！！！