[Daimayuan]完美数（C++，数学）

对于给定的数字 $a$ , $b$ ,当整数 $n$ 在十进制下的所有数位都为 $a$ 或 $b$ 时，我们称 $n$ 是“好数”

对于好数 $n$ ，当 $n$ 在十进制下每一位的数字之和也为“好数”时，我们称 $n$ 是一个“完美数”

请你求出有多少 $m$ 位数是“完美数”

输入格式

输入一行三个整数 $a$ , $b$ , $m$ , 含义如题面所示 ($1\le m\le 10^6$,$1\le a,b\le 9$)。

输出格式

输出一行一个整数表示完美数的数量 ， 由于答案可能很大 ， 请你将答案对 $10^9+7$ 取模

样例输入

5 1 5

样例输出

1

样例解释

只有 $11111$ 满足要求

解题思路

一个长度为$m$的数字，每个数字上的数只有两种可能

$for$循环枚举$a$的数量$i$，计算$a\ast i+b\ast (m-i)$是否为好数，以此方法找出所有完美数

如果符合条件，我们的计算公式为$C_m^i$

由于含有阶乘的计算，很容易爆精度，所以我们想要取模

但是要知道，取模运算对于除法是不成立的

于是，我们引入逆元

首先是逆元的定义：在$modp$的意义下，有$(a\ast b)modp\equiv 1$，我们称$b$为$a$的乘法逆元

逆元有这样一个性质：$a/bmodp=a\ast inv(b)modp$（$inv(b)$为$b$的乘法逆元）

也就是说，逆元可以将$modp$意义下的除法转化为乘法，然后我们就可以进行取模运算了

最后，AC代码如下

#include 
using namespace std;
const int max_m = 1e6;
const int mod_num = 1e9 + 7;

int a, b, m;
long long factorial[max_m + 1];

bool judge(int sum) {
	int t = 0;
	while (sum) {
		t = sum % 10;
		sum /= 10;
		if (!(t == a || t == b)) return false;
	}
	return true;
}

long long pow(long long x, long long y, long long p) {//快速幂
	long long ret = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) ret = ret * x % p;
		x = x * x % p;
		y >>= 1;
	}
	return ret;
}

long long inv(long long x, long long p) {//求解mod p意义下，x的逆元
	return pow(x, p - 2, p);
}

long long cmp(long long m, long long n) {
	return factorial[n] * inv(factorial[m], mod_num) % mod_num * inv(factorial[n - m], mod_num) % mod_num;
}

int main() {
	factorial[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= max_m; i++)
		factorial[i] = (factorial[i - 1] * i) % mod_num;

	cin >> a >> b >> m;
	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i <= m; i++) {
		int sum = a * i + b * (m - i);
		if (judge(sum)) ans = (ans + cmp(i, m)) % mod_num;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}