A.机器学习入门算法(三):基于鸢尾花和horse-colic数据集的KNN近邻(k-nearest neighbors)分类预测

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1 KNN的介绍和应用

1.1 KNN的介绍

kNN(k-nearest neighbors),中文翻译K近邻。我们常常听到一个故事:如果要了解一个人的经济水平,只需要知道他最好的5个朋友的经济能力,
对他的这五个人的经济水平求平均就是这个人的经济水平。这句话里面就包含着kNN的算法思想。

示例 :如上图,绿色圆要被决定赋予哪个类,是红色三角形还是蓝色四方形?如果K=3,由于红色三角形所占比例为2/3,绿色圆将被赋予红色三角形那个类,如果K=5,由于蓝色四方形比例为3/5,因此绿色圆被赋予蓝色四方形类。

1) KNN建立过程

1 给定测试样本,计算它与训练集中的每一个样本的距离。
2 找出距离近期的K个训练样本。作为测试样本的近邻。
3 依据这K个近邻归属的类别来确定样本的类别。

2) 类别的判定

①投票决定,少数服从多数。取类别最多的为测试样本类别。

②加权投票法,依据计算得出距离的远近,对近邻的投票进行加权,距离越近则权重越大,设定权重为距离平方的倒数。

1.2 KNN的应用

KNN虽然很简单,但是人们常说"大道至简",一句"物以类聚,人以群分"就能揭开其面纱,看似简单的KNN即能做分类又能做回归,
还能用来做数据预处理的缺失值填充。由于KNN模型具有很好的解释性,一般情况下对于简单的机器学习问题,我们可以使用KNN作为
Baseline,对于每一个预测结果,我们可以很好的进行解释。推荐系统的中,也有着KNN的影子。例如文章推荐系统中,
对于一个用户A,我们可以把和A最相近的k个用户,浏览过的文章推送给A。

机器学习领域中,数据往往很重要,有句话叫做:“数据决定任务的上限, 模型的目标是无限接近这个上限”。
可以看到好的数据非常重要,但是由于各种原因,我们得到的数据是有缺失的,如果我们能够很好的填充这些缺失值,
就能够得到更好的数据,以至于训练出来更鲁棒的模型。接下来我们就来看看KNN如果做分类,怎么做回归以及怎么填充空值。

2 实验室手册

2.1 实验环境

1. python3.7
2. numpy >= '1.16.4'
3. sklearn >= '0.23.1'

2.2 学习目标

  1. 了解KNN怎么做分类问题
  2. 了解KNN如何做回归
  3. 了解KNN怎么做空值填充, 如何使用knn构建带有空值的pipeline

2.3 代码流程

  1. 二维数据集–knn分类

    • Step1: 库函数导入
    • Step2: 数据导入
    • Step3: 模型训练&可视化
    • Step4: 原理简析
  2. 莺尾花数据集–kNN分类

    • Step1: 库函数导入
    • Step2: 数据导入&分析
    • Step3: 模型训练
    • Step4: 模型预测&可视化
  3. 模拟数据集–kNN回归

    • Step1: 库函数导入
    • Step2: 数据导入&分析
    • Step3: 模型训练&可视化
  4. 马绞痛数据–kNN数据预处理+kNN分类pipeline

    • Step1: 库函数导入
    • Step2: 数据导入&分析
    • Step3: KNNImputer空值填充–使用和原理介绍
    • Step4: KNNImputer空值填充–欧式距离的计算
    • Step5: 基于pipeline模型预测&可视化

2.4 算法实战

2.4.1 Demo数据集–kNN分类

Step1: 库函数导入

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn import datasets

Step2: 数据导入

# 使用莺尾花数据集的前两维数据,便于数据可视化
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :2]
y = iris.target

Step3: 模型训练&可视化

k_list = [1, 3, 5, 8, 10, 15]
h = .02
# 创建不同颜色的画布
cmap_light = ListedColormap(['orange', 'cyan', 'cornflowerblue'])
cmap_bold = ListedColormap(['darkorange', 'c', 'darkblue'])

plt.figure(figsize=(15,14))
# 根据不同的k值进行可视化
for ind,k in enumerate(k_list):
    clf = KNeighborsClassifier(k)
    clf.fit(X, y)
    # 画出决策边界
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                         np.arange(y_min, y_max, h))
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    # 根据边界填充颜色
    Z = Z.reshape(xx.shape)

    plt.subplot(321+ind)  
    plt.pcolormesh(xx, yy, Z, cmap=cmap_light)
    # 数据点可视化到画布
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=cmap_bold,
                edgecolor='k', s=20)
    plt.xlim(xx.min(), xx.max())
    plt.ylim(yy.min(), yy.max())
    plt.title("3-Class classification (k = %i)"% k)

plt.show()

A.机器学习入门算法(三):基于鸢尾花和horse-colic数据集的KNN近邻(k-nearest neighbors)分类预测_第1张图片
Step4: 原理简析

如果选择较小的K值,就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测,例如当k=1的时候,在分界点位置的数据很容易受到局部的影响,图中蓝色的部分中还有部分绿色块,主要是数据太局部敏感。当k=15的时候,不同的数据基本根据颜色分开,当时进行预测的时候,会直接落到对应的区域,模型相对更加鲁棒。

2.4.2 莺尾花数据集–kNN分类

Step1: 库函数导入
Step2: 数据导入&分析

import numpy as np
# 加载莺尾花数据集
from sklearn import datasets
# 导入KNN分类器
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
# 导入莺尾花数据集
iris = datasets.load_iris()

X = iris.data
y = iris.target
# 得到训练集合和验证集合, 8: 2
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

Step3: 模型训练

这里我们设置参数k(n_neighbors)=5, 使用欧式距离(metric=minkowski & p=2)

# 训练模型
clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5, p=2, metric="minkowski")
clf.fit(X_train, y_train)

Step4:模型预测&可视化

# 预测
X_pred = clf.predict(X_test)
acc = sum(X_pred == y_test) / X_pred.shape[0]
print("预测的准确率ACC: %.3f" % acc)

预测的准确率ACC: 0.933

我们用表格来看一下KNN的训练和预测过程。这里用表格进行可视化:

  1. 训练数据[表格对应list]
feat_1 feat_2 feat_3 feat_4 label
5.1 3.5 1.4 0.2 0
4.9 3. 1.4 0.2 0
4.7 3.2 1.3 0.2 0
4.6 3.1 1.5 0.2 0
6.4 3.2 4.5 1.5 1
6.9 3.1 4.9 1.5 1
5.5 2.3 4. 1.3 1
6.5 2.8 4.6 1.5 1
5.8 2.7 5.1 1.9 2
7.1 3. 5.9 2.1 2
6.3 2.9 5.6 1.8 2
6.5 3. 5.8 2.2 2
  1. knn.fit(X, y)的过程可以简单认为是表格存储
feat_1 feat_2 feat_3 feat_4 label
5.1 3.5 1.4 0.2 0
4.9 3. 1.4 0.2 0
4.7 3.2 1.3 0.2 0
4.6 3.1 1.5 0.2 0
6.4 3.2 4.5 1.5 1
6.9 3.1 4.9 1.5 1
5.5 2.3 4. 1.3 1
6.5 2.8 4.6 1.5 1
5.8 2.7 5.1 1.9 2
7.1 3. 5.9 2.1 2
6.3 2.9 5.6 1.8 2
6.5 3. 5.8 2.2 2
  1. knn.predict(x)预测过程会计算x和所有训练数据的距离
    这里我们使用欧式距离进行计算, 预测过程如下

x = [ 5. , 3.6 , 1.4 , 0.2 ] y = 0 x = [5. , 3.6, 1.4, 0.2] \\ y=0 x=[5.,3.6,1.4,0.2]y=0

step1: 计算x和所有训练数据的距离

feat_1 feat_2 feat_3 feat_4 距离 label
5.1 3.5 1.4 0.2 0.14142136 0
4.9 3. 1.4 0.2 0.60827625 0
4.7 3.2 1.3 0.2 0.50990195 0
4.6 3.1 1.5 0.2 0.64807407 0
6.4 3.2 4.5 1.5 3.66333182 1
6.9 3.1 4.9 1.5 4.21900462 1
5.5 2.3 4. 1.3 3.14801525 1
6.5 2.8 4.6 1.5 3.84967531 1
5.8 2.7 5.1 1.9 4.24617475 2
7.1 3. 5.9 2.1 5.35070089 2
6.3 2.9 5.6 1.8 4.73075047 2
6.5 3. 5.8 2.2 5.09607692 2

step2: 根据距离进行编号排序

距离升序编号 feat_1 feat_2 feat_3 feat_4 距离 label
1 5.1 3.5 1.4 0.2 0.14142136 0
3 4.9 3. 1.4 0.2 0.60827625 0
2 4.7 3.2 1.3 0.2 0.50990195 0
4 4.6 3.1 1.5 0.2 0.64807407 0
6 6.4 3.2 4.5 1.5 3.66333182 1
8 6.9 3.1 4.9 1.5 4.21900462 1
5 5.5 2.3 4. 1.3 3.14801525 1
7 6.5 2.8 4.6 1.5 3.84967531 1
9 5.8 2.7 5.1 1.9 4.24617475 2
12 7.1 3. 5.9 2.1 5.35070089 2
10 6.3 2.9 5.6 1.8 4.73075047 2
11 6.5 3. 5.8 2.2 5.09607692 2

step3: 我们设置k=5,选择距离最近的k个样本进行投票

距离升序编号 feat_1 feat_2 feat_3 feat_4 距离 label
1 5.1 3.5 1.4 0.2 0.14142136 0
3 4.9 3. 1.4 0.2 0.60827625 0
2 4.7 3.2 1.3 0.2 0.50990195 0
4 4.6 3.1 1.5 0.2 0.64807407 0
6 6.4 3.2 4.5 1.5 3.66333182 1
8 6.9 3.1 4.9 1.5 4.21900462 1
5 5.5 2.3 4. 1.3 3.14801525 1
7 6.5 2.8 4.6 1.5 3.84967531 1
9 5.8 2.7 5.1 1.9 4.24617475 2
12 7.1 3. 5.9 2.1 5.35070089 2
10 6.3 2.9 5.6 1.8 4.73075047 2
11 6.5 3. 5.8 2.2 5.09607692 2

step4: k近邻的label进行投票

nn_labels = [0, 0, 0, 0, 1] --> 得到最后的结果0。

2.4.3 模拟数据集–kNN回归

Step1: 库函数导入

#Demo来自sklearn官网
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
np.random.seed(0)
# 随机生成40个(0, 1)之前的数,乘以5,再进行升序
X = np.sort(5 * np.random.rand(40, 1), axis=0)
# 创建[0, 5]之间的500个数的等差数列, 作为测试数据
T = np.linspace(0, 5, 500)[:, np.newaxis]
# 使用sin函数得到y值,并拉伸到一维
y = np.sin(X).ravel()
# Add noise to targets[y值增加噪声]
y[::5] += 1 * (0.5 - np.random.rand(8))

Step3: 模型训练&预测可视化

# #############################################################################
# Fit regression model
# 设置多个k近邻进行比较
n_neighbors = [1, 3, 5, 8, 10, 40]
# 设置图片大小
plt.figure(figsize=(10,20))
for i, k in enumerate(n_neighbors):
    # 默认使用加权平均进行计算predictor
    clf = KNeighborsRegressor(n_neighbors=k, p=2, metric="minkowski")
    # 训练
    clf.fit(X, y)
    # 预测
    y_ = clf.predict(T)
    plt.subplot(6, 1, i + 1)
    plt.scatter(X, y, color='red', label='data')
    plt.plot(T, y_, color='navy', label='prediction')
    plt.axis('tight')
    plt.legend()
    plt.title("KNeighborsRegressor (k = %i)" % (k))

plt.tight_layout()
plt.show()

A.机器学习入门算法(三):基于鸢尾花和horse-colic数据集的KNN近邻(k-nearest neighbors)分类预测_第2张图片
Step4:模型分析

当k=1时,预测的结果只和最近的一个训练样本相关,从预测曲线中可以看出当k很小时候很容易发生过拟合。

当k=40时,预测的结果和最近的40个样本相关,因为我们只有40个样本,此时是所有样本的平均值,此时所有预测值都是均值,很容易发生欠拟合。

一般情况下,使用knn的时候,根据数据规模我们会从[3, 20]之间进行尝试,选择最好的k,例如上图中的[3, 10]相对1和40都是还不错的选择。

2.4.4 马绞痛数据–kNN数据预处理+kNN分类pipeline

# 下载需要用到的数据集
!wget https://tianchi-media.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/DSW/3K/horse-colic.csv

# 下载数据集介绍
!wget https://tianchi-media.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/DSW/3K/horse-colic.names

Step1: 库函数导入

import numpy as np
import pandas as pd
# kNN分类器
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
# kNN数据空值填充
from sklearn.impute import KNNImputer
# 计算带有空值的欧式距离
from sklearn.metrics.pairwise import nan_euclidean_distances
# 交叉验证
from sklearn.model_selection import cross_val_score
# KFlod的函数
from sklearn.model_selection import RepeatedStratifiedKFold
from sklearn.pipeline import Pipeline
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split

Step2: 数据导入&分析

2,1,530101,38.50,66,28,3,3,?,2,5,4,4,?,?,?,3,5,45.00,8.40,?,?,2,2,11300,00000,00000,2
1,1,534817,39.2,88,20,?,?,4,1,3,4,2,?,?,?,4,2,50,85,2,2,3,2,02208,00000,00000,2
2,1,530334,38.30,40,24,1,1,3,1,3,3,1,?,?,?,1,1,33.00,6.70,?,?,1,2,00000,00000,00000,1
1,9,5290409,39.10,164,84,4,1,6,2,2,4,4,1,2,5.00,3,?,48.00,7.20,3,5.30,2,1,02208,00000,00000,1
2,1,530255,37.30,104,35,?,?,6,2,?,?,?,?,?,?,?,?,74.00,7.40,?,?,2,2,04300,00000,00000,2
......

数据集介绍:horse-colic.names

数据中的’?‘表示空值,如果我们使用KNN分类器,’?'不能数值,不能进行计算,因此我们需要进行数据预处理对空值进行填充。

这里我们使用KNNImputer进行空值填充,KNNImputer填充的原来很简单,计算每个样本最近的k个样本,进行空值填充。

我们先来看下KNNImputer的运行原理:

Step3: KNNImputer空值填充–使用和原理介绍

X = [[1, 2, np.nan], [3, 4, 3], [np.nan, 6, 5], [8, 8, 7]]
imputer = KNNImputer(n_neighbors=2, metric='nan_euclidean')
imputer.fit_transform(X)

array([[1. , 2. , 4. ],
[3. , 4. , 3. ],
[5.5, 6. , 5. ],
[8. , 8. , 7. ]])
带有空值的欧式距离计算公式

nan_euclidean_distances([[np.nan, 6, 5], [3, 4, 3]], [[3, 4, 3], [1, 2, np.nan], [8, 8, 7]])

Step4: KNNImputer空值填充–欧式距离的计算

样本[1, 2, np.nan] 最近的2个样本是: [3, 4, 3] [np.nan, 6, 5], 计算距离的时候使用欧式距离,只关注非空样本。
[1, 2, np.nan] 填充之后得到 [1, 2, (3 + 5) / 2] = [1, 2, 4]

正常的欧式距离
x = [ 3 , 4 , 3 ] , y = [ 8 , 8 , 7 ] ( 3 − 8 ) 2 + ( 4 − 8 ) 2 + ( 3 − 7 ) 2 = 33 = 7.55 x = [3, 4, 3], y = [8, 8, 7] \\ \sqrt{(3-8)^2 + (4-8)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{33} = 7.55 x=[3,4,3],y=[8,8,7](38)2+(48)2+(37)2 =33 =7.55

带有空值的欧式聚类
x = [ 1 , 2 , n p . n a n ] , y = [ n p . n a n , 6 , 5 ] 3 1 ( 2 − 6 ) 2 = 48 = 6.928 x = [1, 2, np.nan], y = [np.nan, 6, 5] \\ \sqrt{\frac{3}{1}(2-6)^2} = \sqrt{48} = 6.928 x=[1,2,np.nan],y=[np.nan,6,5]13(26)2 =48 =6.928
只计算所有非空的值,对所有空加权到非空值的计算上,上例中,我们看到一个有3维,只有第二维全部非空,
将第一维和第三维的计算加到第二维上,所有需要乘以3。

表格中距离度量使用的是带有空值欧式距离计算相似度,使用简单的加权平均进行填充。

带有空值的样本 最相近的样本1 最相近的样本2 填充之后的值
[1, 2, np.nan] [3, 4, 3]; 3.46 [np.nan, 6, 5]; 6.93 [1, 2, 4]
[np.nan, 6, 5] [3, 4, 3]; 3.46 [8, 8, 7]; 3.46 [5.5, 6, 5]
# load dataset, 将?变成空值
input_file = './horse-colic.csv'
df_data = pd.read_csv(input_file, header=None, na_values='?')

# 得到训练数据和label, 第23列表示是否发生病变, 1: 表示Yes; 2: 表示No. 
data = df_data.values
ix = [i for i in range(data.shape[1]) if i != 23]
X, y = data[:, ix], data[:, 23]

# 查看所有特征的缺失值个数和缺失率
for i in range(df_data.shape[1]):
    n_miss = df_data[[i]].isnull().sum()
    perc = n_miss / df_data.shape[0] * 100
    if n_miss.values[0] > 0:
        print('>Feat: %d, Missing: %d, Missing ratio: (%.2f%%)' % (i, n_miss, perc))

# 查看总的空值个数
print('KNNImputer before Missing: %d' % sum(np.isnan(X).flatten()))
# 定义 knnimputer
imputer = KNNImputer()
# 填充数据集中的空值
imputer.fit(X)
# 转换数据集
Xtrans = imputer.transform(X)
# 打印转化后的数据集的空值
print('KNNImputer after Missing: %d' % sum(np.isnan(Xtrans).flatten()))



Feat: 0, Missing: 1, Missing ratio: (0.33%)
Feat: 3, Missing: 60, Missing ratio: (20.00%)
Feat: 4, Missing: 24, Missing ratio: (8.00%)
Feat: 5, Missing: 58, Missing ratio: (19.33%)
Feat: 6, Missing: 56, Missing ratio: (18.67%)
Feat: 7, Missing: 69, Missing ratio: (23.00%)
Feat: 8, Missing: 47, Missing ratio: (15.67%)
Feat: 9, Missing: 32, Missing ratio: (10.67%)
Feat: 10, Missing: 55, Missing ratio: (18.33%)
Feat: 11, Missing: 44, Missing ratio: (14.67%)
Feat: 12, Missing: 56, Missing ratio: (18.67%)
Feat: 13, Missing: 104, Missing ratio: (34.67%)
Feat: 14, Missing: 106, Missing ratio: (35.33%)
Feat: 15, Missing: 247, Missing ratio: (82.33%)
Feat: 16, Missing: 102, Missing ratio: (34.00%)
Feat: 17, Missing: 118, Missing ratio: (39.33%)
Feat: 18, Missing: 29, Missing ratio: (9.67%)
Feat: 19, Missing: 33, Missing ratio: (11.00%)
Feat: 20, Missing: 165, Missing ratio: (55.00%)
Feat: 21, Missing: 198, Missing ratio: (66.00%)
Feat: 22, Missing: 1, Missing ratio: (0.33%)
KNNImputer before Missing: 1605
KNNImputer after Missing: 0

Step5: 基于pipeline模型训练&可视化

什么是Pipeline, 我这里直接翻译成数据管道。任何有序的操作有可以看做pipeline,例如工厂流水线,对于机器学习模型来说,这就是数据流水线。
是指数据通过管道中的每一个节点,结果除了之后,继续流向下游。对于我们这个例子,数据是有空值,我们会有一个KNNImputer节点用来填充空值,
之后继续流向下一个kNN分类节点,最后输出模型。

results = list()
strategies = [str(i) for i in [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 18, 20, 21]]
for s in strategies:
    # create the modeling pipeline
    pipe = Pipeline(steps=[('imputer', KNNImputer(n_neighbors=int(s))), ('model', KNeighborsClassifier())])
    # 数据多次随机划分取平均得分
    scores = []
    for k in range(20):
        # 得到训练集合和验证集合, 8: 2
        X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(Xtrans, y, test_size=0.2)
        pipe.fit(X_train, y_train)
        # 验证model
        score = pipe.score(X_test, y_test)
        scores.append(score)
    # 保存results
    results.append(np.array(scores))
    print('>k: %s, Acc Mean: %.3f, Std: %.3f' % (s, np.mean(scores), np.std(scores)))
# print(results)
# plot model performance for comparison
plt.boxplot(results, labels=strategies, showmeans=True)
plt.show()
>k: 1, Acc Mean: 0.800, Std: 0.031
>k: 2, Acc Mean: 0.821, Std: 0.041
>k: 3, Acc Mean: 0.833, Std: 0.053
>k: 4, Acc Mean: 0.824, Std: 0.037
>k: 5, Acc Mean: 0.802, Std: 0.038
>k: 6, Acc Mean: 0.811, Std: 0.030
>k: 7, Acc Mean: 0.797, Std: 0.056
>k: 8, Acc Mean: 0.819, Std: 0.044
>k: 9, Acc Mean: 0.820, Std: 0.032
>k: 10, Acc Mean: 0.815, Std: 0.046
>k: 15, Acc Mean: 0.818, Std: 0.037
>k: 16, Acc Mean: 0.811, Std: 0.048
>k: 18, Acc Mean: 0.809, Std: 0.043
>k: 20, Acc Mean: 0.810, Std: 0.038
>k: 21, Acc Mean: 0.828, Std: 0.038

A.机器学习入门算法(三):基于鸢尾花和horse-colic数据集的KNN近邻(k-nearest neighbors)分类预测_第3张图片

Step 6: 结果分析

我们的实验是每个k值下,随机切分20次数据, 从上述的图片中, 根据k值的增加,我们的测试准确率会有先上升再下降再上升的过程。
[3, 5]之间是一个很好的取值,上文我们提到,k很小的时候会发生过拟合,k很大时候会发生欠拟合,当遇到第一下降节点,此时我们可以
简单认为不在发生过拟合,取当前的k值即可。

2.5 KNN原理介绍

k近邻方法是一种惰性学习算法,可以用于回归和分类,它的主要思想是投票机制,对于一个测试实例x, 我们在有标签的训练数据集上找到和最相近的k个数据,用他们的label进行投票,分类问题则进行表决投票,回归问题使用加权平均或者直接平均的方法。knn算法中我们最需要关注两个问题:k值的选择和距离的计算。
kNN中的k是一个超参数,需要我们进行指定,一般情况下这个k和数据有很大关系,都是交叉验证进行选择,但是建议使用交叉验证的时候,k∈[2,20],使用交叉验证得到一个很好的k值。

k值还可以表示我们的模型复杂度,当k值越小意味着模型复杂度表达,更容易过拟合,(用极少树的样例来绝对这个预测的结果,很容易产生偏见,这就是过拟合)。我们有这样一句话,k值越多学习的估计误差越小,但是学习的近似误差就会增大。


距离/相似度的计算:

样本之间的距离的计算,我们一般使用对于一般使用Lp距离进行计算。当p=1时候,称为曼哈顿距离(Manhattan distance),当p=2时候,称为欧氏距离(Euclidean distance),当p=∞时候,称为极大距离(infty distance), 表示各个坐标的距离最大值,另外也包含夹角余弦等方法。

一般采用欧式距离较多,但是文本分类则倾向于使用余弦来计算相似度。

对于两个向量 ( x i , x j ) (x_i,x_j) (xi,xj),一般使用 L p L_p Lp距离进行计算。 假设特征空间 X X X是n维实数向量空间 R n R^n Rn , 其中, x i , x j ∈ X x_i,x_j \in X xi,xjX,
x i = ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , … , x i ( n ) ) x_{i}=\left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, \ldots, x_{i}^{(n)}\right) xi=(xi(1),xi(2),,xi(n)), x j = ( x j ( 1 ) , x j ( 2 ) , … , x j ( n ) ) x_{j}=\left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, \ldots, x_{j}^{(n)}\right) xj=(xj(1),xj(2),,xj(n))
x i , x j x_i,x_j xixj L p L_p Lp距离定义为:
L p ( x i , x j ) = ( ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ p ) 1 p L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} Lp(xi,xj)=(l=1n xi(l)xj(l) p)p1

这里的 p ≥ 1 p\geq1 p1. 当 p = 2 p=2 p=2时候,称为欧氏距离(Euclidean distance):
L 2 ( x i , x j ) = ( ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ 2 ) 1 2 L_{2}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} L2(xi,xj)=(l=1n xi(l)xj(l) 2)21

p = 1 p=1 p=1时候,称为曼哈顿距离(Manhattan distance):
L 1 ( x i , x j ) = ∑ l = 1 n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{1}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\sum_{l=1}^{n}\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right| L1(xi,xj)=l=1n xi(l)xj(l)
p = ∞ p=\infty p=时候,称为极大距离(infty distance), 表示各个坐标的距离最大值:
L p ( x i , x j ) = max ⁡ l n ∣ x i ( l ) − x j ( l ) ∣ L_{p}\left(x_{i}, x_{j}\right)=\max _{l} n\left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}\right| Lp(xi,xj)=lmaxn xi(l)xj(l)

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