【多重背包】详细讲解+一维数组解决+二维数组解决

1.【题目描述】

有n种物品和一个容量为v的背包，第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是w[i]价值是c[i]，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

物品编号	1	2	3
重量	2	4	3
价值	3	7	6
数量	3	4	5

2.【基本算法】

这个题目和0-1背包问题很类似，相比较0-1背包问题多重背包对于每一件物品增加了数量上的限制，我们可以在0-1背包问题的基础上改一下代码

for(int i=1;i<=n;i++) //物品数量 
	{
		for(int j=1;j<=m;j++) //背包容量 
		{
			for(int k=0;k<=s[i];k++) //物品数量可以选择0件，最多选择s[i]件 
			{
				if(j<k*w[i])
					f[i][j]=f[i-1][j];
				else
					f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
			}
		}
	}

这里我们多了一层循环，k表示物品的数量，物品的数量最少可以为0件，最多可以选择s[i]件，s[i]表示每一件物品的数量。

3.【二维数组解决多重背包】

#include 
using namespace std;
int f[100][100];//状态函数f[i][j]表示第i件物品容量为j最大价值
int v[100]; 
int w[100];
int s[100];
/*
函数功能：求多重背包 
函数形参：物品数量和背包容量
函数返回值：返回最大值 
*/ 
int fun(int n,int m)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) //物品数量 
	{
		for(int j=1;j<=m;j++) //背包容量 
		{
			for(int k=0;k<=s[i];k++) //物品数量可以选择0件，最多选择s[i]件 
			{
				if(j<k*w[i])
					f[i][j]=f[i-1][j];
				else
					f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
			}
		}
	}
		return f[n][m];
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>v[i]>>s[i];
	cout<<fun(n,m);
	return 0;
}

4.【一维数组解决多重背包问题】

#include 
using namespace std;
int f[100];//状态函数f[i][j]表示第i件物品容量为j最大价值
int v[100]; 
int w[100];
int s[100];
/*
函数功能：求多重背包 
函数形参：物品数量和背包容量
函数返回值：返回最大值 
*/ 
int fun(int n,int m)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
		{
			for(int k=0;k<=s[i]&&k*w[i]<=j;k++)
			{
					f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*v[i]);
			}
		}
	}
		return f[m];
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]>>v[i]>>s[i];
	cout<<fun(n,m);
	return 0;
}

背包问题使用一维数组可以减少空间复杂度。