C++ AVL树概念及操作
底层结构
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
本节总代码
本节所有知识点代码如下，参考学习
#include
using namespace std;
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
AVLTreeNode(const T& data = T())
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
,_parent(nullptr)
, _data(data)
,_bf(0)
{}
};
//假设元素唯一
template
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
~AVLTree()
{
_DestroyAVLTree(_root);
}
bool Insert(const T& data)
{
if (nullptr == _root)
{
_root = new Node(data);
return true;
}
//1.按照BST性质找到待插入的元素data是否在avl树中存在
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
parent = cur;
if (data < cur->_data)
cur = cur->_left;
else if (data>cur->_data)
cur = cur->_right;
else
return false;
}
//插入新节点
cur = new Node(data);
if (data < parent->_data)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//cur新节点插入之后，parent的子树的高度就发生了变化，需要更新parent的平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
if (0 == parent->_bf)
break;
else if (1 == parent->_bf||-1 == parent->_bf)
{
//说明parent为根的二叉树高度增加了一层
cur = parent;
parent = cur->_parent;
}
else
{
//parent平衡因子为2与-2
if (2 == parent->_bf )
{
//parent的右子树高度高--旋转处理
if (cur->_bf == 1)
{
RotateLeft(parent);
}
else
{
//cur平衡因子为-1
RotateRL(parent);
}
}
else
{
//parent的左子树高度高--旋转处理 -2
if (cur->_bf == -1)
{
RotateRight(parent);
}
else
{
RotateLeft(parent->_left);
RotateLR(parent);
}
}
break;
}
}
return true;
}
void Inorder()
{
cout << "中序遍历:";
_Inorder(_root);
cout << endl;
}
private:
//左单旋
void RotateLeft(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
//注意右单支，即subRL可能为空
if(subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
subR->_parent = pParent;
if (nullptr == pParent)
{
_root = subR;
}
else
{
if (parent == pParent->_left)
pParent->_left = subR;
else
pParent->_right = subR;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
//右单旋
void RotateRight(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subRL = subR->_right;
parent->_left = subLR;
if(subLR)
subRL->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* pParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_parent = pParent;
if (nullptr == pParent)
{
_root = subL;
}
else
{
if (parent == pParent->_left)
pParent->_left = subL;
else
pParent->_right = subL;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)
{
RotateLeft(parent->_left);
RotateRight(parent);
}
void RotateRL(Node* parent)
{
RotateRight(parent->_right);
RotateLeft(parent);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root)
{
_Inorder(root->_left);
cout << root->_data << " ";
_Inorder(root->_right);
}
}
void _DestroyAVLTree(Node*& root)
{
if (root)
{
_DestroyAVLTree(root->_left);
_DestroyAVLTree(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
}
Node* _root;
};
void TestAVLTree()
{
int array[] = { 5,3,7,1,4,6,8,0,2,9 };
AVLTree t;
for (auto e : array)
{
t.Insert(e);
}
t.Inorder();
}
int main()
{
TestAVLTree();
return 0;
} 1. AVL 树
1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)
1.2 AVL树节点的定义
template
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
}; 1.3创建AVL树，插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
2.AVL树的旋转
2.1单旋转
左单旋转
一定是右子树高
举例：设最初如下
插入55后更新平衡因子
50提上来，几种情况：
假如在较高右子树左侧（不行）
最后再更新平衡因子
右单旋转
同理，新节点插入较高左子树的左侧
2.2双旋转
先左单旋后右单旋
新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
如以下两种场景：
进行如下操作：
先右单旋后左单旋
3. AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合