C++ AVL树概念及操作

底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍,在其文档介绍中发现,这几个容器有个共同点是:其底层都是按照二叉搜索树来实现的但是二叉搜索树有其自身的缺陷,假如往树中插入的元素有序或者接近有序,二叉搜索树就会退化成单支树,时间复杂度会退化成O(N),因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理,即采用平衡树来实现。

本节总代码

本节所有知识点代码如下,参考学习

#include
using namespace std;

template
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode* _left;
    AVLTreeNode* _right;
    AVLTreeNode* _parent;
    T _data;
    int _bf;                  // 该节点的平衡因子

    AVLTreeNode(const T& data = T())
        : _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        , _data(data)
        ,_bf(0)
    {}
};

//假设元素唯一
template
class AVLTree
{
    typedef AVLTreeNode Node;
public:
    AVLTree()
        :_root(nullptr)
    {}
    ~AVLTree()
    {
        _DestroyAVLTree(_root);
    }

    bool Insert(const T& data)
    {
        if (nullptr == _root)
        {
            _root = new Node(data);
            return true;
        }
        //1.按照BST性质找到待插入的元素data是否在avl树中存在
        Node* cur = _root;
        Node* parent = nullptr;
        while (cur)
        {
            parent = cur;
            if (data < cur->_data)
                cur = cur->_left;
            else if (data>cur->_data)
                cur = cur->_right;
            else
                return false;
        }
        //插入新节点
        cur = new Node(data);
        if (data < parent->_data)
        {
            parent->_left = cur;
        }
        else
        {
            parent->_right = cur;
        }
        cur->_parent = parent;
        //cur新节点插入之后,parent的子树的高度就发生了变化,需要更新parent的平衡因子
        while (parent)
        {
            if (cur == parent->_left)
                parent->_bf--;
            else
                parent->_bf++;

            if (0 == parent->_bf)
                break;
            else if (1 == parent->_bf||-1 == parent->_bf)
            {
                //说明parent为根的二叉树高度增加了一层
                cur = parent;
                parent = cur->_parent;
            }
            else
            {
                //parent平衡因子为2与-2
                if (2 == parent->_bf )
                {
                    //parent的右子树高度高--旋转处理
                    if (cur->_bf == 1)
                    {
                        RotateLeft(parent);
                    }
                    else
                    {
                        //cur平衡因子为-1
                        RotateRL(parent);
                    }
                }
                else
                {
                    //parent的左子树高度高--旋转处理 -2
                    if (cur->_bf == -1)
                    {
                        RotateRight(parent);
                    }
                    else
                    {
                        RotateLeft(parent->_left);
                        RotateLR(parent);
                    }
                }
                break;
            }
        }
        return true;
    }

    void Inorder()
    {
        cout << "中序遍历:";
        _Inorder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    //左单旋
    void RotateLeft(Node* parent)
    {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;

        parent->_right = subRL;
        //注意右单支,即subRL可能为空
        if(subRL)
            subRL->_parent = parent;

        subR->_left = parent;
        Node* pParent = parent->_parent;
        parent->_parent = subR;
        subR->_parent = pParent;

        if (nullptr == pParent)
        {
            _root = subR;
        }
        else
        {
            if (parent == pParent->_left)
                pParent->_left = subR;
            else
                pParent->_right = subR;
        }
        parent->_bf = subR->_bf = 0;
        
    }

    //右单旋
    void RotateRight(Node* parent)
    {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subRL = subR->_right;

        parent->_left = subLR;
        if(subLR)
            subRL->_parent = parent;

        subL->_right = parent;
        Node* pParent = parent->_parent;
        parent->_parent = subL;
        subL->_parent = pParent;
        if (nullptr == pParent)
        {
            _root = subL;
        }
        else
        {
            if (parent == pParent->_left)
                pParent->_left = subL;
            else
                pParent->_right = subL;
        }
        parent->_bf = subL->_bf = 0;
    }

    void RotateLR(Node* parent)
    {
        RotateLeft(parent->_left);
        RotateRight(parent);
    }

    void RotateRL(Node* parent)
    {
        RotateRight(parent->_right);
        RotateLeft(parent);
    }

    void _Inorder(Node* root)
    {
        if (root)
        {
            _Inorder(root->_left);
            cout << root->_data << " ";
            _Inorder(root->_right);
        }
    }

    void _DestroyAVLTree(Node*& root)
    {
        if (root)
        {
            _DestroyAVLTree(root->_left);
            _DestroyAVLTree(root->_right);
            delete root;
            root = nullptr;
        }
    }
    Node* _root;
};

void TestAVLTree()
{
    int array[] = { 5,3,7,1,4,6,8,0,2,9 };
    AVLTree t;
    for (auto e : array)
    {
        t.Insert(e);
    }
    t.Inorder();
}
int main()
{
    TestAVLTree();
    return 0;
}

1. AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下

解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:

它的左右子树都是AVL树

左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

C++ AVL树概念及操作_第1张图片

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在O(log_2 n),搜索时间复杂度O(log_2 n)

1.2 AVL树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{
     AVLTreeNode(const T& data)
         : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
     , _data(data), _bf(0)
     {}
     AVLTreeNode* _pLeft;   // 该节点的左孩子
     AVLTreeNode* _pRight;  // 该节点的右孩子
     AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
     T _data;
     int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

1.3创建AVL树,插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步:

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

2. 新节点插入后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否

破坏了AVL树

pCur插入后,pParent的平衡因子一定需要调整,在插入之前,pParent的平衡因子分为三种情况:-1,0, 1, 分以下两种情况:

1. 如果pCur插入到pParent的左侧,只需给pParent的平衡因子-1即可

2. 如果pCur插入到pParent的右侧,只需给pParent的平衡因子+1即可

此时:pParent的平衡因子可能有三种情况:0,正负1, 正负2

1. 如果pParent的平衡因子为0,说明插入之前pParent的平衡因子为正负1,插入后被调整成0,此时满足AVL树的性质,插入成功

2. 如果pParent的平衡因子为正负1,说明插入前pParent的平衡因子一定为0,插入后被更新成正负1,此时以pParent为根的树的高度增加,需要继续向上更新

3. 如果pParent的平衡因子为正负2,则pParent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进行旋转处理

2.AVL树的旋转

2.1单旋转

左单旋转

一定是右子树高

C++ AVL树概念及操作_第2张图片

举例:设最初如下

C++ AVL树概念及操作_第3张图片

插入55后更新平衡因子

C++ AVL树概念及操作_第4张图片

50提上来,几种情况:

C++ AVL树概念及操作_第5张图片

假如在较高右子树左侧(不行)

C++ AVL树概念及操作_第6张图片
C++ AVL树概念及操作_第7张图片

最后再更新平衡因子

右单旋转

同理,新节点插入较高左子树的左侧

C++ AVL树概念及操作_第8张图片
C++ AVL树概念及操作_第9张图片

2.2双旋转

先左单旋后右单旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右:先左单旋再右单旋

C++ AVL树概念及操作_第10张图片

如以下两种场景:

C++ AVL树概念及操作_第11张图片

进行如下操作:

C++ AVL树概念及操作_第12张图片
C++ AVL树概念及操作_第13张图片

先右单旋后左单旋

C++ AVL树概念及操作_第14张图片

3. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即$log_2 (N)$。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合

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