动态规划算法

1.基本原理

相对于线性规划一次性地对一个问题求出整体最优解。这样的问题可以转化为一系列相互联系的单阶段优化问题，在每个阶段都需要做出决策。多阶段决策问题就是求一个策略，使各阶段的总体目标达到最优。

2.问题举例：多阶段图上的最短路问题

    这是一个·多阶段图，从a到g的任何一条路径边数都是6。从a到g的最短路必须经过b1或b2，因此，从a到g的最短路就是从a到b1，然后b1到g；或者从a到b2，再从b2到g；这两种走法中最短的那个。

    于是，定义f(u,g)为从当前顶点u到g的最短路长度。则有：

3.动态规划的最优化原理

需要问题的最优解具有如下所述的最优子结构性质：原问题的最优解中包含着子问题的最优解。

4.求解最长子序列问题

public class experiment1 {
    
    public static int max(int a,int b){
        if( a > b ){
            return a;
        }else{
            return b;
        }
    }
    
    public static void main(String[]args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        System.out.print("请输入第一个字符串：");
        String str1 = scan.next();
        System.out.print("请输入第二个字符串：");
        String str2 = scan.next();
        char cha1[] = str1.toCharArray();
        char cha2[] = str2.toCharArray();
        int strLen1 = str1.length();
        int strLen2 = str2.length();
        int sameStr[][] = new int[strLen1+1][strLen2+1];
        String liStr = "";
        for(int i=0;i<=strLen1;i++){
            for(int j=0;j<=strLen2;j++){
                if(i==0||j==0){
                    sameStr[i][j] = 0;
                }else if(cha1[i-1] == cha2[j-1]){
                    sameStr[i][j] = sameStr[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    sameStr[i][j] = max(sameStr[i-1][j],sameStr[i][j-1]);
                }
            }
        }
        for(int i=strLen1,j=strLen2;i>0&&j>0;){
            if(cha1[i-1] == cha2[j-1]){
                liStr += cha1[i-1];
                i--;
                j--;
            }else{
                if(sameStr[i-1][j]>sameStr[i][j-1]){
                    i--;
                }else{
                    j--;
                }
            }
        }
        System.out.println("公共子序列长度为"+sameStr[strLen1][strLen2]);
        System.out.println(liStr);
    }
}

5.背包问题

动态规划解法：定义f（i，j）为将物品1至i中的若干装入总容量为j的背包，所获得的最大价值。
考虑第i个物品，若j小于wi（物品i所占的容量），则不将其放进背包，即f(i,j) =f(i-1,j)。
若大于等于wi，到底是否装入背包，取决于装入第i个物品，再装入f(i-1,j-wi)的价值大，还是将剩下的装入背包获得的价值大，即发f（i,j）=f(i-1,j).