分部积分法的一些特殊方法

前置知识：分部积分法

换元法

有时候，一些函数的积分在用分部积分法时，为了解题方便和让思路更加明了，也需要用到换元。

例题

计算$\int e^{\sqrt{x}}dx$

解：
\qquad 令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$dx=d(t^2)=2tdt$

\qquad 原式$=\int e^t\cdot 2tdt=2\int td(e^t)=2t{e}^t-2\int e^{t}dt=2t{e}^t-2e^t+C=2\sqrt{x}{e}^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C$

两次分部积分法

有一些函数的积分即使直接用分部积分法也不太好做，所以要用多次分部积分法。

例题

计算$\int e^x\cos xdx$

解：
\qquad 原式$=\int e^{x}d(\sin x)=e^x\sin x-\int \sin xd(e^x)$

$=e^x\sin x-\int \sin x\cdot e^{x}dx=e^x\sin x+\int e^{x}d(\cos x)$

$=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos xdx$

\qquad 所以$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos xdx$

\qquad 得$\int e^x\cos xdx=\frac{1}{2}(e^x\sin x+e^x\cos x)+C=\frac{1}{2}{e}^x\sin x+\frac{1}{2}{e}^x\cos x+C$

总结

这些方法在一些分部积分法题目中一般不会用到，如果实在想不到常规做法，可以试着用这些方法。