一个特殊积分的求法

今将求$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x,$$其中$a$是常数.

若$a=0$，则
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
若$a̸=0$, 则置
$$g(y):={\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\cdot \frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$y>0$，$a$是常数. 对$y$求导，得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}& ={\int }_0^{+\infty }\frac{\partial }{\partial y}\left(e^{-xy}\cdot \frac{\sin ax}{x}\right)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{+\infty }-x\cdot e^{-xy}\cdot \frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin ax\mathrm{d}x.\end{array}$$
分部积分，有
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}& =-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin ax\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{a}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\mathrm{d}(\cos ax)\\ & ={\left[\frac{1}{a}{e}^{-xy}\cos ax\right]}_0^{+\infty }+\frac{y}{a}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\cos ax\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{a}+\frac{y}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\mathrm{d}(\sin ax)\\ & =-\frac{1}{a}+\frac{y}{a^2}{\left[e^{-xy}\sin ax\right]}_0^{+\infty }+\frac{y^2}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin ax\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{a}+\frac{y^2}{a^2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\sin ax\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{a}-\frac{y^2}{a^2}\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y},\end{array}$$

于是
$$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}y}=-\frac{a}{a^2+y^2}.$$
解得
$$g(y)=-\arctan \frac{y}{a}+C.\text{\hspace{1em}(3)}$$

在$(1)$中令$y=+\infty$，容易求得$g(+\infty )=0$. 在$(2)$中取$y=+\infty$，则有
$$0=-\arctan \frac{+\infty }{a}+C,$$
显然，
$$\arctan \frac{+\infty }{a}=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2},& a>0,\\ -\frac{\pi }{2},& a<0.\end{array}$$
于是$$C=\pm \frac{\pi }{2},$$
其符号视$a$的符号而定. 故而
$$g(y)=-\arctan \frac{y}{a}\pm \frac{\pi }{2}.\text{\hspace{1em}(4)}$$
在$(1)$和$(3)$中取$y=0$，就有
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x=\pm \frac{\pi }{2}.\text{\hspace{1em}(5)}$$
最后，将$(0)$与$(5)$的结果合起来：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2},& a>0;\\ 0,& a=0;\\ -\frac{\pi }{2},& a<0.\end{array}$$