一个特殊积分的求法
今将求 ∫ 0 + ∞ sin a x x d x , \int_0^{+\infty}\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x, ∫0+∞xsinaxdx,其中 a a a是常数.
若 a = 0 a=0 a=0，则
(1) ∫ 0 + ∞ sin a x x d x = 0 \int_0^{+\infty}\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x=0 \tag{1} ∫0+∞xsinaxdx=0(1)
若 a ≠ 0 a \neq 0 a̸=0, 则置
(2) g ( y ) : = ∫ 0 + ∞ e − x y ⋅ sin a x x d x , g(y):=\int_0^{+\infty}e^{-xy}\cdot\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x,\tag{2} g(y):=∫0+∞e−xy⋅xsinaxdx,(2)
其中， y > 0 y>0 y>0， a a a是常数. 对 y y y求导，得
d g d y = ∫ 0 + ∞ ∂ ∂ y ( e − x y ⋅ sin a x x ) d x = ∫ 0 + ∞ − x ⋅ e − x y ⋅ sin a x x d x = − ∫ 0 + ∞ e − x y sin a x d x . \begin{aligned} \frac{{\rm d}g}{{\rm d}y}&=\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial{y}}\left(e^{-xy}\cdot\frac{\sin ax}{x}\right){\rm d}x\\ &=\int_0^{+\infty} -x\cdot e^{-xy}\cdot\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x\\ &=-\int_0^{+\infty} e^{-xy}\sin ax{\rm d}x. \end{aligned} dydg=∫0+∞∂y∂(e−xy⋅xsinax)dx=∫0+∞−x⋅e−xy⋅xsinaxdx=−∫0+∞e−xysinaxdx.
分部积分，有
d g d y = − ∫ 0 + ∞ e − x y sin a x d x = 1 a ∫ 0 + ∞ e − x y d ( cos a x ) = [ 1 a e − x y cos a x ] 0 + ∞ + y a ∫ 0 + ∞ e − x y cos a x d x = − 1 a + y a 2 ∫ 0 + ∞ e − x y d ( sin a x ) = − 1 a + y a 2 [ e − x y sin a x ] 0 + ∞ + y 2 a 2 ∫ 0 + ∞ e − x y sin a x d x = − 1 a + y 2 a 2 ∫ 0 + ∞ e − x y sin a x d x = − 1 a − y 2 a 2 ⋅ d g d y , \begin{aligned} \frac{{\rm d}g}{{\rm d}y}&=-\int_0^{+\infty} e^{-xy}\sin ax{\rm d}x\\ &=\frac{1}{a}\int_0^{+\infty} e^{-xy}{\rm d}(\cos ax)\\ &=\left[\frac{1}{a}e^{-xy}\cos ax\right]_0^{+\infty}+\frac{y}{a}\int_0^{+\infty} e^{-xy}\cos ax{\rm d}x\\ &=-\frac{1}{a}+\frac{y}{a^2}\int_0^{+\infty} e^{-xy}{\rm d}(\sin ax)\\ &=-\frac{1}{a}+\frac{y}{a^2}\left[e^{-xy}\sin ax\right]_0^{+\infty}+\frac{y^2}{a^2}\int_0^{+\infty} e^{-xy}\sin ax{\rm d}x\\ &=-\frac{1}{a}+\frac{y^2}{a^2}\int_0^{+\infty} e^{-xy}\sin ax{\rm d}x\\ &=-\frac{1}{a}-\frac{y^2}{a^2}\cdot \frac{{\rm d}g}{{\rm d}y}, \end{aligned} dydg=−∫0+∞e−xysinaxdx=a1∫0+∞e−xyd(cosax)=[a1e−xycosax]0+∞+ay∫0+∞e−xycosaxdx=−a1+a2y∫0+∞e−xyd(sinax)=−a1+a2y[e−xysinax]0+∞+a2y2∫0+∞e−xysinaxdx=−a1+a2y2∫0+∞e−xysinaxdx=−a1−a2y2⋅dydg,
于是
d g d y = − a a 2 + y 2 . \frac{{\rm d}g}{{\rm d}y}=-\frac{a}{a^2+y^2}. dydg=−a2+y2a.
解得
(3) g ( y ) = − arctan y a + C . g(y)=-\arctan \frac{y}{a}+C.\tag{3} g(y)=−arctanay+C.(3)
在 ( 1 ) (1) (1)中令 y = + ∞ y=+\infty y=+∞，容易求得 g ( + ∞ ) = 0 g(+\infty)=0 g(+∞)=0. 在 ( 2 ) (2) (2)中取 y = + ∞ y=+\infty y=+∞，则有
0 = − arctan + ∞ a + C , 0=-\arctan\frac{+\infty}{a}+C, 0=−arctana+∞+C,
显然，
arctan + ∞ a = { π 2 , a > 0 , − π 2 , a < 0. \arctan\frac{+\infty}{a}=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2},&a>0,\\-\dfrac{\pi}{2},&a<0.\end{cases} arctana+∞=⎩⎨⎧2π,−2π,a>0,a<0.
于是 C = ± π 2 , C=\pm\frac{\pi}{2}, C=±2π,
其符号视 a a a的符号而定. 故而
(4) g ( y ) = − arctan y a ± π 2 . g(y)=-\arctan\frac{y}{a}\pm\frac{\pi}{2}.\tag{4} g(y)=−arctanay±2π.(4)
在 ( 1 ) (1) (1)和 ( 3 ) (3) (3)中取 y = 0 y=0 y=0，就有
(5) ∫ 0 + ∞ sin a x x d x = ± π 2 . \int_0^{+\infty}\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x=\pm\frac{\pi}{2}.\tag{5} ∫0+∞xsinaxdx=±2π.(5)
最后，将 ( 0 ) (0) (0)与 ( 5 ) (5) (5)的结果合起来：
∫ 0 + ∞ sin a x x d x = { π 2 , a > 0 ; 0 , a = 0 ; − π 2 , a < 0. \int_0^{+\infty}\frac{\sin ax}{x}{\rm d}x=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2},&a>0;\\0,&a=0;\\-\dfrac{\pi}{2},&a<0.\end{cases} ∫0+∞xsinaxdx=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2π,0,−2π,a>0;a=0;a<0.