分部积分法

前置知识：直接积分法

分部积分法简介

设函数$u=u(x)$和$v=v(x)$连续且可导，则

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

移项后可得

$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$

两边同时积分可得

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$

也可写作$\int udv=uv-\int vdu$

当$\int udv$求起来比较困难，但$uv$和$\int vdu$比较好求时，可以用分部积分法来求$\int udv$。

例题

题1： 计算$\int x{e}^{x}dx$

解：
\qquad 原式$=\frac{1}{2}\int \ln xd(x^2)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^{2}d(\ln x)$

$=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^2\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C$

题2： 计算$\int x\ln xdx$

解：
\qquad 原式$=\frac{1}{2}\int \ln xd(x^2)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^{2}d(\ln x)$

$=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int x^2\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C$

题3： 计算$\int \arctan xdx$

解：
\qquad 原式$=x\arctan x-\int xd(\arctan x)=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx$

$=x\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x^2}d(x^2+1)=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$

总结

在解决这类问题时，要仔细思考将那一部分当作函数$u$才能更好地解题。一般情况下，$u$的优先级为：

• 反三角函数
• 对数函数
• 幂函数
• 指数函数
• 三角函数