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分部积分法求不定积分的若干准则

【摘要】通过探讨分部积分法在处理几类特殊函数的不定积分中的若干准则，为学生利用分部积分法求不定积分提供有效便捷的思路，帮助学生理解求不定积分过程中分部积分法的本质及其巨大功效.

【关键词】高等数学; 不定积分;分部积分法

【中图分类号】O13;O172.2 【文献标识码】A

【基金项目】 西北农林科技大学陕西省专项配套基金(Z109021118).

不定积分求解方法的核心是换元积分法和分部积分法.相比较换元积分法而言，分部积分法是由两个函数乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法，主要解决被积函数是两类不同函数乘积的不定积分.具体地说，将两个函数乘积的微分公式d(uv)=udv+vdu改写成udv=d(uv)-vdu，则两边积分可得

∫udv=uv-∫vdu

(*)

这就是求不定积分的分部积分公式[1，2].上述公式表明：对于一个形如∫udv的不定积分，如果它本身不好计算，但是∫vdu却容易计算，则通过公式(*)，不易求解的积分∫udv的计算就可以转化为较易求解的积分∫vdu的计算.

有关讨论分部积分法求不定积分教学研究和解题方法的文章已经有很多，读者可以参考文献[3，4，5].由分部积分公式(*)可知，利用分部积分法求不定积分时我们主要考虑以下两点：

(1)u和dv的选取是关键;如果u和dv的选取不当，就可能使得求解变得更困难，从而求不出结果;

(2)∫vdu要比∫udv易求解.

依据上面两点，我们提出利用分部积分法处理下面五类两个函数乘积的不定积分时选u的若干准则，供同学们学习参考.假设P(x)和Q(u，v)是任意多项式函数，并设a，b为任意实数，k，n为任意正整数.

一、 ∫P(x)sin(ax)dx或∫P(x)cos(ax)dx，即多项式函数和三角函数乘积的不定积分，在分部积分公式(*)中我们选u的准则为“三多选多”.

例1 求∫x2cos(ax)dx

解 根据“三多选多”的准则，我们选u=x2，从而dv=cos(ax)dx=1ad(sin(ax))，利用分部积分公式(*)可得，∫x2cos(ax)dx=1a∫x2d(sin(ax))=1ax2sin(ax)-∫sin(ax)d(x2)=1ax2sin(ax)-2∫xsin(ax)dx.

注意到上式最后一项中∫xsin(ax)dx仍然是多项式函数和三角函数乘积的不定积分，所以仍然适用“三多选多”的准则，从而∫x2cos(ax)dx=1ax2sin(ax)-2∫xsin(ax)dx=1ax2sin(ax)+2a∫xd(cos(ax))=1ax2sin(ax)+2axcos(ax)-∫cos(ax)dx=1ax2sin(ax)+2axcos(ax)-2a2sin(ax)+C.

注：上题中我们连续应用了两次分部积分法.一般来说，对于形如∫xkcosaxdx或者∫xksinaxdx的不定积分，可以依据“三多选多”的准则应用多次分部积分法进行求解.

二、 ∫P(x)eaxdx，即多项式函数和指数函数乘积的不定积分，在分部积分公式(*)中我们选u的准则为“指多选多”.

例2 求∫x2eaxdx

解 根据“指多选多”的准则，我们选u=x2，从而dv=eaxdx=1ad(eax)，利用分部积分公式(*)得，∫x2eaxdx=1a∫x2d(eax)=1ax2eax-∫eaxd(x2)=1ax2eax-2∫xeaxdx.

注意到上式最后一项中∫xeaxdx仍然是多项式函数和指数函数乘积的不定积分，所以仍然适用“指多选多”的准则，从而∫x2eaxdx=1ax2eax-2∫xeaxdx=1ax2eax-2a∫xd(eax)=1ax2eax-2axeax+2a∫eaxdx=1ax2eax-2axeax+2a2eax+C.

注：一般来说，对于形如∫xkeaxdx的不定积分，可以依据“指多选多”的准则应用多次分部积分法进行求解.

三、 ∫P(x)lnnxdx，即多项式函数和对数函数乘积的不定积分，在分部积分公式(*)中我们选u的准则为“多对选对”.

例3 求∫xkln2xdx

解 根据“多对选对”的准则，我们选u=ln2x，从而dv=xkdx=1k+1d(xk+1)，利用分部积分公式(*)得，∫xkln2xdx=1k+1∫ln2xd(xk+1)=1k+1xk+1ln2x-∫xk+1d(ln2x)=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx.

注意到上式最后一项中∫xklnxdx仍然是多项式函数和对数函数乘积的不定积分，所以仍然适用于“多对选对”的准则，从而∫xkln2xdx=1k+1xk+1ln2x