【小蓝有一个 30 行 60 列的数字矩阵】递归求解（python）（耗时仅不到1s出答案）（lru_cache）

题目描述

问题描述：

​ 小蓝有一个 30 行 60 列的数字矩阵，矩阵中的每个数都是 0 到 9 之间的数字。现在小蓝想从这个矩阵的第一行第一列画一条折线到第 30 行 60 列，线只能沿水平向右走或竖直向下走，只能在有数字的地方拐弯。小蓝想知道，这样一条线经过的数字的和最大是多少。

数字矩阵：

   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141

---

思路

注：这道题是要用动态规划来做才符合出题人的意图，但他只是一道填空题，所以我觉得用我的cpu去做。

这道题我的思路是：（比较稚嫩，大佬勿喷）

因为他是向下或者向右两个方向，每一个结点都是只有这两种情况，所以我们可以通过二叉树来求解。即在生成二叉树的同时，把它每一个叶子结点对应的路径上的数字求和，最后在所有叶子结点对应的路径数字和里面找到最大的那个即可。

例如： n代表行，m代表列，则二叉树意为上图。

---

python代码

1.单函数递归

str = """
   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141"""

str_list = str.split()
# print(len(str_list), len(str_list[0]))

all_list = []
for each_line in str_list:
    each_line_list = []
    for each_iter in each_line:
        each_line_list.append(int(each_iter))
    all_list.append(each_line_list)

all_max = 0

def _(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]  # 这里别忘了把[i, j]结点也加上
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if i < 29:
        _(i + 1, j, x + all_list[i][j])

    if j < 59:
        _(i, j + 1, x + all_list[i][j])


_(0, 0, 0)  # 一开始的坐标是[0, 0]，并且从0开始加
print(all_max, '-----------')

 注：这种方法是正确的，并没有问题，他只是“比较”慢。

2.三个进程提速

为了加快递归速度，并且得到结果，我们就不能使用上面的方法，我们可以分三个方向来运行递归，在答题结束之前把三个递归出来的结果找到其中的一个最大值提交。

进程1：就是上面的那个方法（生成二叉树的方向为【上】）

进程2：更换生成二叉树的方向为【下】

str = """
   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141"""

str_list = str.split()
# print(len(str_list), len(str_list[0]))

all_list = []
for each_line in str_list:
    each_line_list = []
    for each_iter in each_line:
        each_line_list.append(int(each_iter))
    all_list.append(each_line_list)

all_max = 0

def _(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]  # 这里别忘了把[i, j]结点也加上
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return


    # 在这里进行了修改，让他从另外一个方向开始找
    if j < 59:
        _(i, j + 1, x + all_list[i][j])

    if i < 29:
        _(i + 1, j, x + all_list[i][j])


_(0, 0, 0)  # 一开始的坐标是[0, 0]，并且从0开始加
print(all_max, '-----------')

进程2：更换生成二叉树的方向为【中】

str = """
   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141"""

str_list = str.split()
# print(len(str_list), len(str_list[0]))

all_list = []
for each_line in str_list:
    each_line_list = []
    for each_iter in each_line:
        each_line_list.append(int(each_iter))
    all_list.append(each_line_list)

all_max = 0

def _1(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if i < 29:
        _2(i + 1, j, x + all_list[i][j])

    if j < 59:
        _2(i, j + 1, x + all_list[i][j])


def _2(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if j < 59:
        _1(i, j + 1, x + all_list[i][j])

    if i < 29:
        _1(i + 1, j, x + all_list[i][j])


_1(0, 0, 0)
print(all_max, '-----------')

之后同时运行这三个代码就行了~~~【怎么说呢，，总感觉我的这个方法只能凸显我的无知。。但是我感觉这也属于一种思路吧，仅供参考！！！】

3.最近最久未使用页面置换算法【lru】加速递归

使用注解：

@functools.lru_cache()

参考博客：(4条消息) 【Python】functools.lru_cache加快递归速度_zephyrji96的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/qq_36552489/article/details/105532598?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522166979114416782425651167%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=166979114416782425651167&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduend~default-2-105532598-null-null.142%5Ev67%5Econtrol,201%5Ev3%5Econtrol,213%5Ev2%5Et3_control2&utm_term=python%E5%8A%A0%E5%BF%AB%E9%80%92%E5%BD%92%E9%80%9F%E5%BA%A6&spm=1018.2226.3001.4187

关于注解参数maxsize的选择：

简单的来说该参数的值越大，递归的越快。

该参数默认的值为128，也可以自己传参，这里我用的是1024000，这道题1s左右就递归出来的。

代码： 

import functools

str = """
   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141"""

str_list = str.split()
# print(len(str_list), len(str_list[0]))

all_list = []
for each_line in str_list:
    each_line_list = []
    for each_iter in each_line:
        each_line_list.append(int(each_iter))
    all_list.append(each_line_list)

all_max = 0


@functools.lru_cache(maxsize=1024000)
def _(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if i < 29:
        _(i + 1, j, x + all_list[i][j])

    if j < 59:
        _(i, j + 1, x + all_list[i][j])


_(0, 0, 0)
print(all_max, '-----------')

加速：

因为它是把函数放在缓存里面了，方便快速的读写，但其实还可以加速，就是使用我上面那个生成二叉树的方向为【中】的代码来做递归，它的递归函数有2个，当把maxsize的值设置为102400的时候就会发现，用它来做递归其实是比用一个函数递归的速度要快的。

（可以自己更改maxsize的值来测试时间，差距还是比较明显的）

import functools

str = """
   174094882455171152761423221685761892795431233411387427793198
　　650286024865090061389344606618496378829135984076361542097372
　　601657541200146071777733599818266038012509478351201640618984
　　143988087783837107349651099683484992553337438088068198972282
　　890781586124258626539246182119762952003918195325258677229419
　　698255491250839396799769357665825441616335532825361862146291
　　503649293440596342887581257444442930778730382520372975343211
　　325351222640703400531067500454956482168314849207060705673849
　　265774579830223671554026061117300483012903885770893074783710
　　083450145620356667677191627276513995926532444279237315785832
　　411595106453089134746365281031552217482363035280722591085079
　　053410485925413958279617719034175332412908745680774313630190
　　429314820559328748143552689295945058801322270313370955837837
　　939182801848609300876356583948397645861551964542532682663945
　　625356614462682551015176002433628234343684739800880514363921
　　982340231989891351425389287014819359798014755509282450440511
　　590838726938103384801541373585690893606978941566666714061214
　　952341523168827712604946036245881214982452998386986623826275
　　782780208928205527678781609589000725521486468983551558405472
　　149903035076783644195574734088152324666290493119955560594634
　　905391288186024902215444250421277955403412298227858394469856
　　607272647132163832860126054679347881638761723785858733108109
　　249157334220127702410373959720286708183036202841837581704881
　　367895556630088230650972282944827258473951902831431040790814
　　079538232104075905120989173307660289899942087873076421916033
　　622143260549608274076012938515668898707915863945382394851328
　　164677964192631597026176253407553188801750590935427267220117
　　591817866992665840378311257621611574856498432538327068011953
　　631534031790352912617015229051836886166704989498756486878095
　　690013558017746707412183571476823027885971347137127534455141"""

str_list = str.split()
# print(len(str_list), len(str_list[0]))

all_list = []
for each_line in str_list:
    each_line_list = []
    for each_iter in each_line:
        each_line_list.append(int(each_iter))
    all_list.append(each_line_list)

all_max = 0


@functools.lru_cache(maxsize=102400)
def _1(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        x += all_list[i][j]
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if i < 29:
        _2(i + 1, j, x + all_list[i][j])

    if j < 59:
        _2(i, j + 1, x + all_list[i][j])

    # if j < 59:
    #     _(i, j + 1, x + all_list[i][j])
    #
    # if i < 29:
    #     _(i + 1, j, x + all_list[i][j])


@functools.lru_cache(maxsize=102400)
def _2(i, j, x):
    global all_list, all_max

    if i == 29 and j == 59:
        if x > all_max:
            all_max = x
            print(all_max)
        return

    if j < 59:
        _1(i, j + 1, x + all_list[i][j])

    if i < 29:
        _1(i + 1, j, x + all_list[i][j])


_1(0, 0, 0)
print(all_max, '-----------')

---

结尾

行吧，就图一乐吧，赶紧学动态规划去。。。