函数极限：函数在一点处的极限

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函数极限：函数在一点处的极限

学习过数列极限后，现在考虑另一种极限，即 函数极限。

函数在点 $x_0$ 处的极限：定义

定义（在 $x_0$ 处的极限）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域 $U^o(x_0,\rho )$ 中有定义，即存在 $\rho >0$，使得
$$U^o(x_0,\rho )\subseteq D_f\text{。}$$
若存在实数 $A$，使得对于任意给定的 $ϵ>0$，存在 $\delta >0(\delta <\rho )$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立
$$|f(x)-A|<ϵ\text{，}$$
则称 $A$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的 极限，记作
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to x_0)\text{。}$$

若不存在具有上述性质的实数 $A$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 不存在极限。

注：注意与数列极限的区别，函数极限中，没有 发散 这一概念。

函数极限定义的符号表述：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x(0<|x-x_0|<\delta ):|f(x)-A|<ϵ.$$

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函数在点 $x_0$ 处的极限：性质

唯一性

定理（唯一性）：若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处存在极限，则极限值唯一。

证明：反证法。

不妨设 $A,B\in \mathbb{R}$ 均为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限，按照极限的定义，对于任意给定的 $ϵ>0$，

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):|f(x)-A|<\frac{ϵ}{2}$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|f(x)-B|<\frac{ϵ}{2}$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，由三角不等式，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$|A-B|\le |f(x)-A|+|f(x)-B|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.$$

由 $ϵ$ 的任意性（$ϵ$ 可任意接近 $0$），可知 $A=B$。

证毕

局部保序性

定理（局部保序性）：设函数 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，若 $A>B$，则存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立
$$f(x)>g(x)\text{。}$$

证明：

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，取 ${ϵ}_0=\frac{A-B}{2}$，则

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):|f(x)-A|<{ϵ}_0=\frac{A-B}{2}$，即：$f(x)>\frac{A+B}{2}$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|g(x)-B|<{ϵ}_0=\frac{A-B}{2}$，即：$g(x)<\frac{A+B}{2}$；

因此，取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$f(x)>\frac{A+B}{2}>g(x)\text{。}$$

证毕

给出下面图示，帮助理解（比如，$ϵ$ 是任意给定的，为什么取 ${ϵ}_0=\frac{A-B}{2}$?）

推论：设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，$B$ 为一常数，且 $A>B$，则存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立
$$f(x)>B\text{。}$$
证明 1：局部保序性（令 $g(x)=B$ 为常函数）。

证明 2：

$A>B$，由实数系的稠密性，存在 $A>C>B$，取 $0<ϵ<A-C$，则
$$\exists \delta >0,\forall x(0<|x-x_0|<\delta ):|f(x)-A|<ϵ<A-C\text{，}$$
即 $f(x)>C>B$ 得证。

证毕

推论：设 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\ne 0$，则存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立
$$|f(x)|>\frac{|A|}{2}\text{。}$$
证明 1：上述推论的推论。显然当 $A\ne 0$ 时， $|A|>\frac{|A|}{2}$。

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则
$$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x(0<|x-x_0|<\delta ):|f(x)-A|<ϵ\text{。}$$
由三角不等式，有
$$||f(x)|-|A||\le |f(x)-A|<ϵ\text{，}$$
令 $g(x)=|f(x)|$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }|g(x)|=|A|$，而 $|A|>\frac{|A|}{2}$，由上述结论，$g(x)=|f(x)|>\frac{|A|}{2}$。

证明 2：仿照数列极限中的相似理论。

证毕

局部保不等式性

定理（局部保不等式性）：设函数 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，若存在 $\rho >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\rho$ 时，$g(x)\le f(x)$，则
$$B\le A\text{。}$$
证明 1：反证法。

假设 $B>A$，则由函数极限的 局部保序性，存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$g(x)>f(x)$。

而根据条件，存在 $\rho >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\rho$ 时，$g(x)\le f(x)$，取 $\eta =\min \{\rho ,\delta \}$，则当 $0<|x-x_0|<\eta$ 时，既有 $g(x)>f(x)$，又有 $g(x)\le f(x)$，从而产生矛盾，因此 $B\le A$。

证毕

证明 2：利用数列极限保序性的证明思想。

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$，因此，对于任意给定的 $ϵ>0$，

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):|f(x)-A|<ϵ$，即：$f(x)<A+ϵ$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|f(x)-B|<ϵ$，即：$g(x)>B-ϵ$；

因此，取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $B-ϵ<A+ϵ$，即：$B<A+2ϵ$。

现在，证明 $B\le A$，反证法。

假设 $B>A$，则 $B-A>0$，不妨取 $ϵ=\frac{B-A}{2}$，带入 $B<A+2ϵ$ 即有：$B<B$，从而产生矛盾，因此 $B\le A$。

证毕

局部有界性

定理（局部有界性）：若实数 $A$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限，则存在 $\delta >0$ ，使得 $f(x)$ 在去心邻域 $U^o(x_0,\delta )$ 中有界。

证明：

$A$ 是一个特定的实数，因此一定可以取常数 $m,M$ ，使得 $m<A<M$。

令 $g(x)=m$，$h(x)=M$，则由 局部保序性，：

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):f(x)>g(x)=m$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):f(x)<h(x)=M$；

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$m<f(x)<M\text{。}$$

即函数 $f(x)$ 在去心邻域 $U^o(x_0,\delta )$ 中有界。

证毕

夹逼性

定理（夹逼性）：设函数 $g(x)$、$h(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限均为 $A$，若存在 $\rho >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\rho$ 时，成立 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，则有
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\text{。}$$
证明：

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A$，因此，$\forall ϵ>0$，

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):|g(x)-A|<ϵ$，即：$g(x)>A-ϵ$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|h(x)-A|<ϵ$，即：$h(x)<A+ϵ$；

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$A-ϵ<g(x)\le f(x)\le h(x)<A+ϵ\text{。}$$
即 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$。

证毕

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函数在点 $x_0$ 处的极限：运算

(线性)相加运算

定理：设函数 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，则成立
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)=\alpha \cdot A+\beta \cdot B(\alpha ,\beta \text{为常数})。$$
证明：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$，因此，$\forall ϵ>0$，

• $\exists {\delta }_1>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_1):|f(x)-A|<ϵ$；
• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|g(x)-B|<ϵ$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，由当三角不等式， $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$\left|\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)-\left(\alpha \cdot A+\beta \cdot B\right)\right|\le |\alpha |\cdot |f(x)-A|+|\beta |\cdot |g(x)-B|<(|\alpha |+|\beta |)\cdot ϵ.$$
即：$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)=\alpha \cdot A+\beta \cdot B(\alpha ,\beta \text{为常数})$ 得证。

证毕

相乘运算

定理：设函数 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，则成立
$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B\text{。}$$
证明：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，由函数极限的 局部有界性，存在 ${\delta }_1>0$，使得当 $0<|x-x_0|<{\delta }_1$ 时，存在 $M>0$，使得 $f(x)\le M$。

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$，因此，$\forall ϵ>0$,

• $\exists {\delta }_2>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_2):|f(x)-A|<ϵ$；

• $\exists {\delta }_3>0,\forall x(0<|x-x_0|<{\delta }_3):|g(x)-B|<ϵ$。

取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$，由三角不等式，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有
$$|f(x)g(x)-AB|=|f(x)(g(x)-B)+B(f(x)-A)|\le |f(x)|\cdot |g(x)-B|+|B|\cdot |f(x)-A|<(|X|+|B|)\cdot ϵ.$$
即：$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B$ 得证。

证毕

相除运算(除数不为零)

定理：设函数 $f(x)$、$g(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，其中 $B\ne 0$，则成立
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)\text{。}$$
证明：

推论：若 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B\ne 0$，则成立：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}\text{。}$$
证明：上述定理中 $f(x)=1$ 为常函数的特殊情形。

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函数在点 $x_0$ 处的极限：函数极限与数列极限的关系

定理（Heine 定理）：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限为 $A$ 的充分必要条件：任意满足条件 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,\text{且}{x}_n\ne x_0(n=1,2,3,\cdots )$ 的数列 $\{x_n\}$，其函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 成立：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A\text{。}$$

Heine 定理 常被用于证明某个函数的极限不存在！

事实上，在 Heine 定理 中，我们只关心函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处是否存在极限，而并不关心在 $x_0$ 处的极限值为多少。因此，Heine 定理 有如下等价描述：

定理（Heine定理）’： 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处存在极限的充分必要条件：任意满足条件 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,\text{且}{x}_n\ne x_0(n=1,2,3,\cdots )$ 的数列 $\{x_n\}$，其函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 收敛。

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参考文献

[1] 陈纪修，於崇华，金路著. 数学分析 上册. 第2版. 北京：高等教育出版社. 2004.05.

[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上册. 第4版. 北京：高等教育出版社. 2010.7.