[CSP-S2019] 格雷码------题解

题目描述
通常，人们习惯将所有 n 位二进制串按照字典序排列，例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为：00，01，10，11。

格雷码（Gray Code）是一种特殊的 n 位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为：00，01，11，10。

n 位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

• 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成，顺序为：0，1。
• n + 1 位格雷码的前 2^n个二进制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷码（总共 2^n个 n 位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀 0 构成。
• n + 1 位格雷码的后 2^n 个二进制串，可以由依此算法生成的 n 位格雷码（总共 2^n个 n 位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀 1 构成。
• 综上，n + 1 位格雷码，由 n 位格雷码的 2^n个二进制串按顺序排列再加前缀 0，和按逆序排列再加前缀 1 构成，共 2^{n+1}个二进制串。另外，对于 n 位格雷码中的 2^n个 二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 0∼2^n−1 编号。

按该算法，2 位格雷码可以这样推出：

1.已知 1 位格雷码为 0，1。
2.前两个格雷码为 00，01。后两个格雷码为 11，10。合并得到 00，01，11， 10，编号依次为 0 ~ 3。
同理，3 位格雷码可以这样推出：

1.已知 2 位格雷码为：00，01，11，10。
2.前四个格雷码为：000，001，011，010。后四个格雷码为：110，111，101，100。合并得到：000，001，011，010，110，111，101，100，编号依次为 0 ~ 7。
现在给出 n，k，请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k 号二进制串。

输入格式
仅一行两个整数 n，k，意义见题目描述。

输出格式
仅一行一个 n 位二进制串表示答案。

输入输出样例
输入 #1
2 3
输出 #1
10
输入 #2
3 5
输出 #2
111
输入 #3
44 1145141919810
输出 #3
00011000111111010000001001001000000001100011
说明/提示
【样例 1 解释】

2 位格雷码为：00，01，11，10，编号从 0∼3，因此 3 号串是 10。

【样例 2 解释】

3 位格雷码为：000，001，011，010，110，111，101，100，编号从 0∼7，因此 5 号串是 111。

【数据范围】

对于 100% 的数据：1≤n≤64, 0 ≤k<2^n

【题目分析】
仔细观察格雷码的生成方式,不难发现其中的规律,如下：

• 对格雷码进行二分，第n次二分出的两部分的前n位数相同，如：

000，001，011，010，110，111，101，100
第一次二分：
000，001，011，010，/，110，111，101，100
左右两边第一位相同。接下来我们取左半部分继续二分
第二次二分：
000，001，/，011，010
左右两边前两位数相同。

此规律成立

• 左半部分的输出规则与右半部分的输出规则相反：
  1.左半部分：二分的两部分左半段输出0，右半段输出1；
  2.右半部分：二分的两部分左半段输出1，右半段输出0；
  如：

000，001，011，010，110，111，101，100
第一次二分：
000，001，011，010，/，110，111，101，100
左半段输出第一个数为0，右半段输出第一个数为1，对左右两段分别二分
第二次二分：
000，001，/，011，010----------110，111，/，101，100
左半段二分出两部分使用规则1输出第二位数
右半段二分出两部分使用规则2输出第二位数
第三次二分：
依次类推······

规则成立

【代码实现】

#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;//unsigned long long重命名为ull，不用ull见祖宗。
ull n,k,mid,i;//i为还需要输出几位数
ull l,r;
ull qmi(ull n){//找二分的最初右端点
	ull ans=1,a=2;
	while(n){//快速冥
		if(n&1)	ans=ans*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
ull hyh(ull a,ull b){
	if(i==0)//终止条件：还需要输出0位数时返回
		return 0;
	ull mid=(l+r)/2;//二分
	if(k<=mid){
		printf("%d",a);
		r=mid;//下一次二分范围更新
		i--;//还需要输出几位数的数量减1
		hyh(0,1);//左半段使用规则1输出
	}
	else{
		printf("%d",b);
		l=mid+1;//下一次二分范围更新
		i--;//还需要输出几位数的数量减1
		hyh(1,0);//右半段使用规则2输出
	}
	return 0;
}
int main(){
	cin>>n>>k;
	i=n;
	n=qmi(n);//找二分的右端点
	l=0;r=n-1;//l为二分左端点，r为二分右端点
	hyh(0,1);//第一次输出用规则1输出第1位数
	return 0;
}