爬楼梯问题（DP、DFS、排列组合、递归）

问题描述

假设你现在正在爬楼梯，楼梯有 n 级。每次你只能爬 1级或者 2级，那么你有多少种方法爬到楼梯的顶部？

我们规定刚开始在第0层。

下面介绍4种方法：

1.动态规划

dp[n]：表示到达第n层台阶有dp[n]种方法
转移方程：dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2] (n>2); 其中dp[1]=1,dp[2]=2;
简单分析：假设我们要走到第n层台阶，他的最后一步有两种决策，一个是走一步，另一个是走两步，所以到达第n层的方法=到达第n-1层的方法+到达第n-2层的方法。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[50],n,ans;
void init()      //dp
{
 	dp[1]=1,dp[2]=2;
 	for(int i=3;i<=40;i++)
  	    dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
int main()
{
    init();
    cin>>n;
    cout<<dp[n]<<endl;
 return 0;
}

2.DFS

深度优先搜索：一直暴力搜索到第n层台阶。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,ans;
void dfs(int step)
{
	if(step==n)
	{
		ans++;
		return;
	}
	if(step>n)
		return;
	for(int i=1;i<=2;i++)
	{
		dfs(step+i);
	}
} 
int main()
{
	cin>>n;
	dfs(0);
	cout<<(ll)ans<<endl;
	return 0;
}

DFS还可以输出走过的路径

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;
ll dp[50],n,ans,number;
ll m[maxn];
void dfs(int step,int s)
{
	if(step==n)
	{
		for(int i=0;i<s;i++)
		{
			cout<<m[i];
			if(i!=s-1)
				cout<<"-";
			else
				cout<<endl;
		}
		return;
	}
	if(step>n)
		return;
	for(int i=1;i<=2;i++)
	{
		m[s]=i;
		dfs(step+i,s+1);
		m[s]=0;
	}
} 
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		dfs(0,0);
	}
	return 0;
}

3.排列组合

我们假设到达第n层台阶需要走i个2步，那么走1步的就有（n-2 * i）个，一共需要走n-i步。我们需要计算C（i，n-i） i属于[0,n/2] ，计算时我们计算的是[1,n/2]，因为计算组合数i做分母，只需要在最后的结果+1就行。
组合数C（i，n-i）的计算公式为: ( n-i )! / ( i! * (n-i-i)! ) 经历过高考的人都会这个公式。
下面才是重点，如果暴力计算组合数数据会溢出的，N！阶乘数太大了。

优化组合数：C（m，n）= n! / ( m! * (n-m)!)
我们先做一个约分，约分 n! / m! =(m+1) * (m+2) * ··· *(n-1) * n
为啥我们除以m！ ，这里我们就认为m！比（n-m）！大，如果（n-m）！> m! ，交换两个数的值。方便计算。
这样一般的数据范围数据不会溢出，如果数据范围很大的话，运用卢卡斯定理，请自行百度，这个不是重点。
组合数计算代码：

ll C(ll m,ll n)
{
	if(m<n-m) m=n-m;
	for(int i=n;i>=m+1;i--)
		ans*=i;
	for(int i=1;i<=n-m;i++)
		ans/=i;
	return ans;	
} 

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll number;
ll solve(ll n)
{
	ll num=n/2,count;
	for(ll i=1;i<=num;i++)
	{
		ll p=i,q=n-i;
		if(p<q-p) p=q-p; 
		count=1;
		for(int j=p+1;j<=q;j++)
			count*=j;
		for(int k=1;k<=q-p;k++)
			count/=k;
		number+=count;
	}
	return number+1;
}
int main()
{
	ll n;
	cin>>n;
	number=0;
	if(n==1)
		cout<<"0"<<endl;
	else
		cout<<(ll)solve(n)<<endl;
	return 0;
}

4.递归

递归：自己调用自己，到达临界点就返回值。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll solve(ll n)
{
	if(n==1||n==2)
		return n;
	return solve(n-1)+solve(n-2);
}
int main()
{
	ll n;
	cin>>n;
	cout<<solve(n)<<endl;
	return 0;
}