【算法】 通过苏格拉底麦穗理论(最优停时)来研究爱情

摘要

        本篇文章通过最优停时理论，用苏格拉底捡麦穗的实例，建立模型。分析在怎么样的采样容量下， 苏格拉底捡到最长的麦穗的情况的可能性是最高的, 并给出概率的具体数值。
        本篇文章首先从数学理论角度证明最优的采样空间概率，再通过计算机代码实验证明最优停止理论的正确性，从而 给出一个较优的采样方法，同样可以运用于爱情问题等其他现实生活问题中。
关键词: 最优停止理论;苏格拉底麦穗理论;采样空间;爱情选择

1 引言

        当苏格拉底谈到爱情这一话题时，苏格拉底把学生带到了一个麦田。麦田的地上有很多麦穗， 苏格拉底要求学生从头开始一路走过去，只能捡一次麦穗。并且在道路上，只能前进，不能后退。 由于际遇的随机性，通常很难真正地选到自己最满意的那一个。那么，该观察多少麦穗之后再下手，捡到的最大的麦穗的可能性是最大的，是一个值得研究的问题。
        本论文数学证明了最优停止 理论的数学性，并通过实验证明，当选取 36.8% 为采样空间时，选到最大的麦穗的概率是最大的。 同理，在女生一生的恋爱中，选取前 36.8% 作为采样空间，找到真爱的概率是最大的。

2 数学理论证明

设有 n 个人，放弃前 k 个人，若按此策略最终选到最优的人的概率为 P(k), 则
$$\begin{gathered} P(k)=P(第k+1个人是最优的)+P(第k+2个人是最优的)+...+P(第n个人是最优的)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\ast \frac{k}{k+1}+\frac{1}{n}\ast \frac{k}{k+2}+...+\frac{1}{n}\ast \frac{k}{n-1} \\ =\frac{k}{n}\ast (\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{n-1}) \\ =\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i} \end{gathered}$$

转化为规划问题
$$\begin{gathered} max\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i} \\ s.t.k\le n,k\in n,k\in N \end{gathered}$$
在n较小时，非线性规划求整数解
在n很大时， $\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}$即是y = $y=\frac{1}{x}$ 将区间$(\frac{k}{n},1)$分割成宽度为$\frac{1}{n}$的小区间后的黎曼和。
令x =$\frac{k}{n}$ , 易知
$$P(k)=\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}\approx x{\int }_1^x\frac{1}{x}dx=-xlnx$$
为求P(k)最大值，令P’(k) = -(1 + lnx) = 0, 有x = 1 / e
此时
$$P(k)=-\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}\approx 36.8\%$$

3 实验证明

3.1 基本思路

        数组里存放 1-100，数字越大代表男生的质量越高，将数组随机打乱。从样本容量为 1 开始到 99，在每一个样本容量里，循环执行 10000 次算法，用计数器来计数选到最大数字的次数。
        核心算法: 记录随机数组中最大的数和指定样本容量中最大的数，将备选区间里的数字和样本 容量最大的数字比较(备选区间按照顺序比较)。如果备选区间内的数字比样本容量中最大的数字大，则选择该数字。如果一直比样本容量中最大的数字小，则往后顺延。用计数器记录成功选到最 优秀数字的个数。

3.2 实验代码

//
//  main.cpp
//  最优停止问题
//
//  Created by python on 2020/10/9.
//  Copyright © 2020 SSDF. All rights reserved.
//

#include 
#include 
#include 
#include
#include 
using namespace std;
int main(int argc, const char * argv[]) {
    srand((unsigned)time(NULL));
    //int demo = 1;
    //int chance[100];
    //int *temp = new int[1000];
     
    //设定样本容量
    int demoarray[100];
    vector<int> vs;
    for(int j=0;j<100;j++){
        vs.push_back(j+1);//将1-100放入vs
    }
    
    
    for(int demo = 1;demo<100;demo++){
    int count = 0;
   for(int i = 0;i<10000;i++){
      
       
       //打乱顺序
       random_shuffle(vs.begin(),vs.end());
       
       //取出样本容量中最大的数
        int *maxdemo = max_element(vs.begin(),vs[demo]);
        // cout<<"maxdemo"<<*maxdemo<
       
       //比较算法
       int tempfigure;
       for(int j = demo;j<100;j++){
           tempfigure = vs[j];
           if(tempfigure >= *maxdemo){
                if(tempfigure == 100){
                        count++;
                         
                }
              break;
        
           }
           if(tempfigure == 100){
               count++;
               break;
           }
        }
   
       }
        demoarray[demo-1] = count;
   // cout<<"count:"<
    //cout<
      //delete [] temp;
  
}
    for(int i = 0;i<100;i++){
        cout<<demoarray[i]<<" ";
    }
  return 0;
}

3.3 实验结果

代码执行结果:

数据可视化:
由实验可知，当样本容量的数量在大约 37 附近时，得到的女神找到真爱的概率是最大的，其数值接近 37%。

4 结论

        根据理论和代码实验证明，36.8% 是最优的采样空间比例. 并且，通过数学理论推导证明，当样 本容量足够大时，选取 36.8% 作为采样空间，得到最优的概率也是最大的，为 36.8%。
        将此结论应用于女生的爱情选择中，我们可以知道，若女生一生中要谈 n 段恋爱，那么选取 n * 36.8% 个男生作为她的采样空间，找到真命天子的概率，是最大的。

5 参考资料

1.https://blog.csdn.net/hildahuang/article/details/8099202 秘书问题
2.https://www.bilibili.com/video/BV1uJ411D7AW?t=308 37% 法则