Scratch蓝桥杯实战训练 —— 巧解“韩信点兵”难题

“韩信点兵”蓝桥杯问题描述：

     “蓝桥杯”中有一道有趣的 Scratch 编程题，题目要求为：韩信点兵

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扩展知识：

这道题叫“中国余数定理”，又叫“孙子定理”，也叫“韩信点兵问题”，是我国古代数学智慧结晶。

解题思路及方法

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第一种题目及解题方法

有一个数，除以3余下2，除以5余下2，除以7余下2。求这个数最小值。

      先将这个数设为 x ，不难发现只要 x 减去 2 ，就变成 3、5、7 的公倍数。通过计算可知：3、5、7最小公倍数是 105。在加上原先去掉的 2 ，答案为 107。

代码图片如下：

      比较机智的网友，还可以用算式算出 3、5、7 的最小共公倍数。因为 3、5、7 这三数为互质关系。如下：

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第二种题目及解题方法

有一个数，除以3余2，除以5余4，除以7余6。求这个数最小值。

      还是将这个数设为 x ，仔细查看即可发现只要将最后剩的余数加 1，就可以将结果变作整数。也就是说，将 x 增加 1 ，就变成 3、5、7 的公倍数。通过计算可知：3、5、7最小公倍数是 105。在去掉原先加上的 1 ，答案为 104.

算式如下：

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第三种题目及解题方法

有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余1。求这个数最小值。

        仍旧将这个数设为 x ，聪明的网友可能看出了规律：除以 7 余 1 相当于除以 7 “余 8 ”，除以 5 余 3 也相当于 “余 8 ”，除以 3 余 2 还相当于“余 8 ”。知道了这点，就可以通过“第一种题目及解题方法”解决这个问题。最后不要忘了加上 8。

       代码小编也就不写了，请您看上两种解题方法，写出代码。

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第四种题目及解题方法

        背景：在秦末时期，楚汉相争。韩信曾有一次带 1500 名兵士打仗，战死四五百人。这是，前方来报，说敌军率 500 人前来进攻。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵 3 人一排，多出 2 人；5 人一排，多出 3 人；7 人一排，多出 2 人。韩信据此很快说出人数：1049 人。那么请问，韩信是如何快速知道军队人数的呢？

       这道题可以使用“重复执行”，将 1000~1100 逐个判断是否符合要求。全部代码如下：

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第五种题目及解题方法

古代明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支。

七子团圆正半月。除百零五使得知。

逐字逐句分析整首歌诀：

三人同行七十稀：把除以 3 所得的余数 (上文的“ 3 人一排，多出 2 人”) 乘以 70。

五树梅花廿一支：把除以 5 所得的余数 (上文的“ 3 人一排，多出 2 人”) 乘以 70。

七子团圆正半月：把除以 7 所得的余数 (上文的“ 3 人一排，多出 2 人”) 乘以 15 (“ 正半月”指 15 天)。

除百零五便得知：把上述三个积加起来，除以 105 (“百零五”指 105 ) 的余数便是答案。

列式：

2×70+3×21+2×15=233       233÷105=2……23

答案便是 23 

解题原理：

问题：

• 为什么 70，21，15，105 有如此神奇作用?
• 70，21，15，105 是从何而来?

70，21，15，105 的性质：

• 70 除以 3 余 1，被 5和7整除，所以 70a 除以 3 余 a ，也被 5和7整除；
• 21 余以 5 余 1，被 3和7整除，所以 21b 除以 5 余 b ，也被 3和7整除；
• 15 除以 7 余 1，被 3和5整除，所以 15c 除以 7 余 c ，也被 3和5 整除。
• 而 105 则是 3，5，7 的最小公倍数。

　　总之来说，70a＋21b＋15c 是被 3 除余 a,被 5 除余 b ，被 7 除余 c 的数，这个数如果大了，还要减去它们的公倍数。

另一种解法：

       现在我们来提出另外一种解法，本质上是换汤不换药，请大家不妨仔细体会一下。
　　题目为：“今有物不知数，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四，问物几何?”
　　先找除以 9 余 4 的数：4，13，22，31，40，49，58，67……
　　其中除以 7 余 2 的数有：58
　　但是 58 除以 5 不会余 2，用 58 加上7 和 9 的最小公倍数 63，直到到除以 5 后余数为 2为止：58，121，184，247……