为什么基础矩阵F的自由度是7

一、基础矩阵的定义？
基础矩阵是对极几何中，将左图中的一个点的像素坐标，映射到右图中对应极线坐标的矩阵。
二、为什么基础矩阵的自由度是7？
首先，对极几何中，基础矩阵的维度是3×3，也就是有9个元素。基础矩阵是一种射影变换矩阵，将一个齐次坐标变换到另一个齐次坐标。射影变换矩阵（数学上只要是一个3×3的可逆矩阵，就是射影变换矩阵）本身就存在一个尺度因子，可以减少一个自由度，如下所示：
a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , h = [ h 11 h 12 h 13 h 21 h 22 h 23 h 31 h 32 h 33 ] , a = h b a=\left[\begin{matrix}a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\end{matrix}\right],b=\left[\begin{matrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{matrix}\right],h=\left[\begin{array}{ccc}h_{11}&h_{12}&h_{13}\\ h_{21}&h_{22}&h_{23}\\ h_{31}&h_{32}&h_{33}\end{array}\right],a=hb a= ​a1​a2​a3​​ ​,b= ​b1​b2​b3​​ ​,h= ​h11​h21​h31​​h12​h22​h32​​h13​h23​h33​​ ​,a=hb
a,b都是齐次坐标，因此不妨等式前后都提出一个标量比例因子得到
$$s_1{a}^{\prime }=s_{2}h{b}^{\prime }$$
同时h矩阵中也可以提出一个比例因子s，得到
$$s_1{a}^{\prime }=s_{2}s{h}^{\prime }{b}^{\prime }，\frac{s_1}{s_{2}s}{a}^{\prime }=h^{\prime }{b}^{\prime }$$
式子的左边，$a$和$a^{\prime }$都是齐次坐标，因此是等价的，式子的右边$hb$和$h^{\prime }{b}^{\prime }$表达的意义也是等价的，即使是$h^{\prime }b$，得出的齐次坐标也是同一个点。因此，射影变换$h$只有8个自由度，其中的$h_{33}$其实可以固定为1，以消除比例因子的影响。
那么基础矩阵呢，由于还存在一个对极约束，使得
x ′ T F x = 0 , x = [ x i ′ y i ′ 1 ] , x = [ x i y i 1 ] x'^TFx=0,x=\left[\begin{matrix}x_i'\\ y_i'\\ 1\end{matrix}\right],x = \left[\begin{matrix}x_i\\ y_i\\ 1\end{matrix}\right] x′TFx=0,x= ​xi′​yi′​1​ ​,x= ​xi​yi​1​ ​
即展开成
$$x_i^{\prime }{x}_i{f}_{11}+x_i^{\prime }{y}_i{f}_{12}+x_i^{\prime }{f}_{13}+y_i^{\prime }{x}_i{f}_{21}+y_i^{\prime }{y}_i{f}_{22}+y_i^{\prime }{f}_{23}+x_i{f}_{31}+y_i{f}_{32}+f_{33}=0.$$
其中$f_{33}=1$，其余8个未知数$f_{ij}$，由于受到这个式子的约束，知道其中7个元素，就可以求得剩下1个的元素，因此说，自由度为7。即基础矩阵F的自由度为7.