C语言力扣第50题之Pow(x,n),求x的n次幂。递归算法

50. Pow(x, n)

实现 pow(x, n) ,即计算 x 的整数 n 次幂函数(即,xn )。

示例 1:

输入:x = 2.00000, n = 10
输出:1024.00000

示例 2:

输入:x = 2.10000, n = 3
输出:9.26100

示例 3:

输入:x = 2.00000, n = -2
输出:0.25000
解释:2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

提示:

  • -100.0 < x < 100.0
  • -231 <= n <= 231-1
  • -104 <= xn <= 104

「快速幂算法」的本质是分治算法。举个例子,如果我们要计算 x^64,我们可以按照:

x→x2→x4→x8→x16→x32→x64

的顺序,从 x 开始,每次直接把上一次的结果进行平方,计算 6 次就可以得到 x^{64} 的值,而不需要对 x 乘 63 次 x。

再举一个例子,如果我们要计算 x^{77},我们可以按照:

x→x2→x4→x9→x19→x38→x77

的顺序,在 x→x2x \to x^2x→x2,x2→x4,x19→x38 这些步骤中,我们直接把上一次的结果进行平方,而在 x4→x9,x9→x19,x38→x77这些步骤中,我们把上一次的结果进行平方后,还要额外乘一个 x。

直接从左到右进行推导看上去很困难,因为在每一步中,我们不知道在将上一次的结果平方之后,还需不需要额外乘 x。但如果我们从右往左看,分治的思想就十分明显了:

    当我们要计算 x^n 时,我们可以先递归地计算出 y=x⌊n/2⌋y = x^⌊n/2⌋,其中

    根据递归计算的结果,如果 n 为偶数,那么 x^n = y^2;如果 n 为奇数,那么 x^n = y^2×x;

    递归的边界为 n = 0,任意数的 0 次方均为 1。

由于每次递归都会使得指数减少一半,因此递归的层数为 O(log⁡n),算法可以在很快的时间内得到结果。

double myPow(double x, int n){
    if (n == 0)
        return 1; // 递归出口
    if (n == 1)
        return x; // 递归出口
    // if (n < 0)
    //     return 1 / myPow(x, -n); // 此处n会越界
    if (n == -1)
        return 1 / x; // 只定义递归出口即可
    if (n % 2 != 0)
        return x * myPow(x, n - 1);
    else
        return myPow(x * x, n / 2);
}

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