第十三届蓝桥杯大赛C++研究生组 试题B：超级质数
文章目录
- 前言
- 题目
- 解题思路
-
- 一、寻找质数
- 二、找出全部子串
- 三、依次判断全部子串，如果出现某一子串不为质数，则返回步骤1寻找下一个质数。
- 注：
前言
提示：本系列所有相关代码都以C++为编程语言进行讲解。
本文为第十三届蓝桥杯软件赛省赛第二场C++研究生组的题目，会依次对每道题进行总结记录，能力有限，如有更优解法，还请不吝赐教。
题目
如果一个质数 P 的每位数字都是质数，而且每两个相邻的数字组成的两位
数是质数，而且每三位相邻的数字组成的三位数是质数，依次类推，如果每相
邻的 k 位数字组成的 k 位数都是质数，则 P 称为超级质数。
如果把超级质数 P 看成一个字符串，则这个超级质数的每个子串都是质
数。
例如，53 是一个超级质数。
请问，最大的超级质数是多少？
解题思路
本题对超级质数的定义为，该数的每个子串都是质数，例如
数字2375
那么该数字的子串为：2、3、7、5、23、37、75、237、375、2375
当以上子串全部都是质数时，则该数为超级质数。
那么解题步骤如下
- 寻找1到n中的质数
- 从得到的质数中，求出该数的全部子串
- 依次判断全部子串，如果出现某一子串不为质数，则返回步骤1寻找下一个质数。
一、寻找质数
判断一个数是不是质数，常规方法是判断该数字能否被比自己小的数字整除。
代码如下：
bool Prime_Number_Judge(const int &num)
{
if (num <= 3) //判断是否小于3
{
return num > 1;
}
for (size_t i = 2; i < num; i++)//判断能否被小于自身的数整除
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
然而事实上，如果一个数不是质数，一定存在某个约数，分别大于sqrt(num)和小于sqrt(num)，那么我们只需要判断该数是否能被小于sqrt(num)的数整除整除。
则代码改为如下：
bool Prime_Number_Judge(const int &num)
{
if (num <= 3) //判断是否小于3
{
return num > 1;
}
for (size_t i = 2; i < sqrt(num); i++)//判断能否被小于sqrt(num)的数整除
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
一个数字如果不能被2整除，那么一定不能被其他偶数整除，因为任意一个偶数都可以被分2*n。那么我们只需要判断能否被小于sqrt(num)的奇数整除即可
代码优化为：
bool Prime_Number_Judge(const int &num)
{
if (num <= 3) //判断是否小于3
{
return num > 1;
}
if ( num % 2 == 0 )//判断能否可以被2整除
{
return false;
}
for (size_t i = 3; i < sqrt(num); i+=2)//判断能否被小于sqrt(num)的奇数整除
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
再者对于大于5的质数一定是6X-1或者6X+1的。利用这种特性。可以对整数进行筛选，只判断那些是6x-1或6x-1的整数是否为质数。
证明：
令x≥1，则大于等于5的自然数表示如下：······6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4······（相邻6个数为一组）
6x、6x+2、6x+4可以被2 整除，6x+3可以表示为3*(2x+1)，即可以被3整除，只剩下6x-1和6x+1中可能存在质数。因此质数一定是6x-1或6x+1。
代码优化如下：
bool Prime_Number_Judge(const int &num)
{
if (num <= 3) //判断是否小于3
{
return num > 1;
}
if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)//判断是否为6x-1或6x+1
{
return false;
}
if ( num % 2 == 0 )//判断能否可以被2整除
{
return false;
}
for (size_t i = 3; i < sqrt(num); i+=2)//判断能否被小于sqrt(num)的奇数整除
{
if (num % i == 0)
{
return false;
}
}
return true;
}
二、找出全部子串
分为三步
1、求出数字共有几位，如：1即有1位，53即有2位，2373即有4位
//求一个数字有几位
int& Get_Number_Size(const int &num)
{
int digit = 0;
int val = num;
while (val)
{
val /= 10;
digit++;
}
return digit;
}
2、将数字的每位数字分别用数组表示，如2372，则建立数组[2,3,7,3]
vector<int>& Get_Digits(const int &num , vector<int> &digits)
{
//将数字的每位数字分别用数组表示
int vactor_val = 0;
//利用Get_Number_Size()求得数字有几位，并进行求余和整除计算
for (size_t num_size = Get_Number_Size(num); num_size > 0; num_size--)
{
vactor_val = num % (int)pow(10.0, num_size);
vactor_val = vactor_val /(int)pow(10.0, num_size - 1);
digits.push_back(vactor_val);
}
return digits;
}
3、利用循环求出数字的各个子串
vector<int>& Get_K_Adjacent(const int &num, vector<int> &adjacent)
{
vector<int> digists_number;
//数字的每位数字分别用数组表示，存在数组digists_number
Get_Digits(num , digists_number);
//求出数字长度
int digits = Get_Number_Size(num);
for (size_t i = 0; i < digits; i++)
{
for (size_t j = 0; j < digits-i ; j++)
{
string buf;
int k = 0;
while (k <= i)
{
//用字符串的+=操作符进行子串的拼接
buf += to_string(digists_number.at(j + k));
k++;
}
//再将拼接的子串转为整数，存在数组adjacent
adjacent.push_back(stoi(buf));
}
}
return adjacent;
}
三、依次判断全部子串，如果出现某一子串不为质数，则返回步骤1寻找下一个质数。
至此全部工作已经完成，利用for循环依次进行遍历数字，寻找质数中的超级质数即可。
全部代码如下：
#include 最终运行结果为：
故本题答案为373。恭喜完成第一道题！
注：
关于寻找质数的思路参考来自博主：是杰夫呀 的文章，链接在这里，原文有更详细的解说