【数据结构】深刨Trie树（字典树）

一、什么是字典树？

Trie 树，也叫“字典树”。顾名思义，它是一个树形结构。它是一种专门处理字符串匹配的数据结构，用来解决在一组字符串集合中快速查找某个字符串的问题。

Trie 树的本质，就是利用字符串之间的公共前缀，将重复的前缀合并在一起。
举个例子，现在我们要存储一些字符串。

1️⃣ 只要前缀相同的我们就不需要两个节点来存储，但是要注意ABCD和ATCD这两个字符串从B和T就分开了，所以后面的CD就不会存到一起。
2️⃣ 有可能一个字符串是另一个字符串的前缀。所以我们需要一个变量来标志一个字符串的结尾，也能标识有多少个这个字符串。

二、字典树的相关操作

2.1 插入

const int N = 1e6 + 10;
int son[N][26];// 记录下一个节点在第几层
int cnt[N];// 标识字符串结尾
int idx;// 记录下一个要存节点的层数

son数组的作用是记录储存子节点的位置，而26则代表了26个字符，类似于26叉树。
而cnt的作用就是标志一个字符串的结尾，顺便记录有多少个该字符串。
idx表示当前要插入的节点（新建节点）。

void insert(const string& s)
{
    int p = 0;// 从根开始找，如果没有说明需要新的根
    for(int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        int u = s[i] - 'a';
        if(!son[p][u])// 没有就创建
        {
            son[p][u] = ++idx;
        }
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p]++;
}

用一张图理解一下，假设现在要插入"ac"和"bc"：

这也说明了不管是插入还是查找，第一个字符都是在第0层，所以初始化p = 0。

2.2 查找

查找的操作就类似于插入，如果不存在直接返回0即可。

int search(const string& s)
{
    int p = 0;
    for(int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        int u = s[i] - 'a';
        if(!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}

2.3 例题：Trie字符串统计

题目链接

题目描述

维护一个字符串集合，支持两种操作：

1. I x 向集合中插入一个字符串 x；
2. Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。
   共有 N个操作，所有输入的字符串总长度不超过 1e5，字符串仅包含小写英文字母。

输入格式

第一行包含整数 N，表示操作数。接下来 N行，每行包含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 x在集合中出现的次数。
每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤2∗1e4

输入样例：

5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab

输出样例：

1
0
1

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int son[N][26];// 记录下一个节点在第几层
int cnt[N];// 标识字符串结尾
int idx;// 记录下一个要存节点的层数

void insert(const string& s)
{
    int p = 0;// 从根开始找，如果没有说明需要新的根
    for(int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        int u = s[i] - 'a';
        if(!son[p][u])// 没有就创建
        {
            son[p][u] = ++idx;
        }
        p = son[p][u];
    }
    cnt[p]++;
}

int search(const string& s)
{
    int p = 0;
    for(int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        int u = s[i] - 'a';
        if(!son[p][u]) return 0;
        p = son[p][u];
    }
    return cnt[p];
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    string s1, s2;
    while(n--)
    {
        cin >> s1 >> s2;
        if(s1 == "I")
        {
            insert(s2);
        }
        else
        {
            cout << search(s2) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

三、应用：最大异或对

题目链接

题目描述

在给定的 N个整数 A1，A2……AN中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行输入一个整数 N。第二行输入 N个整数 A1～AN。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

1≤N≤105, 0≤Ai<231

输入样例：

3
1 2 3

输出样例：

3

思路分析：
首先我们要知道什么时候两个数字异或值最大？
答案是当两个数的二进制位每一位都不相同的时候最大。

我们知道一个数有32个比特位，最高位不用管（符号位），所以我们就要看第0 ~ 30位。
因为比特位有原子性（只有两态），我们可以分两种情况：一种是比特位相同，一种是不同，而为了保证最大，从最高位开始，如果两种情况的话每次尽量往不同的方向走，只有一种情况就没有办法。我们边查找边统计总和，走到最后即可得到异或的值，所以我们边查找就能边统计最大的异或对。

#include 

using namespace std;

const int N = (1e5 + 10) * 31;

int son[N][2], idx;

void insert(int x)
{
    int p = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; i--)
    {
        int u = (x >> i) & 1;
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        p = son[p][u];
    }
}

int search(int x)
{
    int p = 0, res = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; i--)
    {
        int u = (x >> i) & 1;
        // 尽量往不在的那一边走
        // 另一边存在就异或
        if(son[p][!u])
        {
            res = res * 2 + 1;
            p = son[p][!u];
        }
        else
        {
            res = res * 2;
            p = son[p][u];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        insert(x);
        int tmp = search(x);
        res = max(res, tmp);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

四、总结

我们上面的题目也可以使用哈希来解决，但是trie树在某些方面它的用途更大，比如说对于某一个单词，我们要询问它的前缀是否出现过。这样hash就不好搞了，而用trie还是很简单。
上面我们使用数组模拟出来的，当然也可以用链式结构：

#define MAX 26
typedef struct trie {
    struct trie* node[MAX];
    int v;
} Trie;

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