目录
一、库函数计算 π
二、近似值计算 π
三、无穷级数计算 π
四、割圆术计算 π
五、蒙特卡罗法计算 π
六、计算800位精确值
从2020年开始,每年的3月14日又被定为国际数学日,是2019年11月26日联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布的。巧合的是这一天既是爱因斯坦的生日,又是霍金的忌日,两位物理界的巨擘一个出生于(1879)另一个离世于(2018)这个日子。
以前,3月14日还是一年一度的庆祝常数π的节日,由圆周率最常用的近似值3.14而来,称为圆周率日(π Day)。
圆周率(π)是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比,是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形,给出π=3.141024的圆周率近似值。他说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”这包含了求极限的思想。
公元480年左右,南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果,给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。密率是个很好的分数近似值,要取到才能得出比略准确的近似。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。
计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。经吉尼斯世界纪录认证,目前π的最准确值,超过小数点后62,831,853,071,796位。
今天来用python代码来算算圆周率 π,也算比较应景的。方法有很多,列举几个如下:
>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.acos(-1)
3.141592653589793
>>> math.atan(1)*4
3.141592653589793
>>> math.atan2(2,2)*2*2
3.141592653589793
>>> print(22/7)
3.142857142857143
>>> print(355/113)
3.1415929203539825
>>> print(102573/32650)
3.141592649310873
>>> import math
>>> print(16*math.atan(1/5)-4*math.atan(1/239))
3.1415926535897936
>>> print(32*math.atan(1/10)-4*math.atan(1758719/147153121))
3.1415926535897936
>>> math.pi #比对
3.141592653589793
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 ...
pi=0
for i in range(1,10000000):
pi+=0.5/(i**2-i+0.1875)
print(pi)
'''
3.1415926035880934
>>>
'''
π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - 4/(12*13*14) ...
pi=3
for i in range(2,10000000,4):
pi+=4/(i*(i+1)*(i+2))-4/((i+2)*(i+3)*(i+4))
print(pi)
'''
3.1415926535895253
>>>
'''
from math import sqrt
pi=0
for i in range(1,10000000,2):
pi+=1/(i*i)
print(sqrt(8*pi))
'''
3.141592589927253
>>>
'''
from math import sqrt
pi=0
for i in range(1,10000000):
pi+=1/(i**4)
print(sqrt(sqrt(90*pi)))
'''
3.141592653589592
>>>
'''
印度天才数学家拉马努金1914年发表了一个圆周率计算公式,每计算一项可以得到8位的十进制精度;以上公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein兄弟俩在1987年用基于椭圆积分变换的理论给出证明并改良过后的公式。
from math import sqrt
from math import factorial
for j in range(1,6):
pi=0
for i in range(j):
pi+= (26390*i+1103)*factorial(4*i)/(factorial(i)**4)/(396**(4*i))
print("%.20f"%(1/(2*sqrt(2)*pi/9801)))
'''
3.14159273001330552333
3.14159265358979400418
3.14159265358979311600
3.14159265358979311600
3.14159265358979311600
>>>
'''
以上代码算到第三项就到精度极限了,应该是python本身精度不够引起的。
割圆术:古代(魏晋)数学家刘徽 公元263年《九章算术注》记载,现代数学用三角函数来表示分割的三角形面积,如下切割3亿份就能得到15位精度
>>> from math import sin
>>> sin(2*math.pi/300000000)*300000000/2
3.141592653589793
方法:单位圆外接一个正方形,然后向其中随机撒点,通过计算落在圆内的点数与总点数之比计算圆周率。以圆心为原点坐标,计算点与原点的距离,距离不于1的有效点数 hits 增一。
from random import random
Dots = 2000000
for j in range(5):
hits = 0
for i in range(Dots):
x,y = random(),random()
dist = (x**2+y**2)**0.5
if dist <= 1.0:
hits+=1
pi = 4 * (hits/Dots)
print(pi)
每次计算距离有三次 ** 运算,所以速度有点慢;精度也不高,200万个点能得出 3.14 两位精度。
a,c=10000,2800
b=e=0
f=[0]*2801
while b!=c:
f[b]=a//5
b+=1
while c!=0:
d=0
g=c*2
b=c
while 1:
d+=f[b]*a
g-=1
f[b]=d%g
d//=g
g-=1
b-=1
if b!=0:
d*=b
else:
break
c-=14
print('%.4d'%(e+d//a),end='')
e=d%a
这段代码比较神奇的,以前我写过关于此的文章,请见:http://t.csdn.cn/5oEAA
回过来,作为一名数学爱好者,再次庆祝一下这个数学节日,也算符合教科文组织确立本纪念日的目的:“为庆祝数学在生活中的美丽和重要性”。最后,让我们来共同欣赏一下 π 的独特魅力:
莱布尼茨级数
平方数倒数之和无穷级数
欧拉恒等式——5个常量构成“最美公式”,有理数无理数实数虚数融汇一体
双曲几何三角形面积公式
高斯-博内定理
等周不等式
拉马努金“最丑”的数学公式
爱因斯坦广义相对论的核心方程:爱因斯坦场方程
海森堡不确定性原理是量子力学的一个重要原理