代码随想录算法训练营第四十四天|完全背包、518.零钱兑换Ⅱ、377.组合总和Ⅳ
day44 2023/03/16
一、完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
dp状态图如下：
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后在问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？
二、零钱兑换
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
分析如下：
动规五步曲来分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
3.dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
4.确定遍历顺序
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
5.举例推导dp数组
代码如下：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
vectordp(amount+1,0);
dp[0]=1;
for(int i=0;i 三.组合总和
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
分析如下：
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2.确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
装满背包的递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题也一样。
3.dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
至于dp[0] = 1 有没有意义呢？
其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？
初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。
4.确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
5.举例来推导dp数组
代码如下：
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector& nums, int target) {
vectordp(target+1,0);
dp[0]=1;
for(int i=0;i<=target;i++)
{
for(int j=0;j=0&&dp[i]