背包问题 笔记

背包问题

背包问题是「动态规划」中十分经典的一类问题，背包问题本质上属于组合优化的「 NP 完全问题」。 只能通过 「穷举」+「验证」 的方式进行求解。

「背包问题」 泛指一类「给定价值与成本」，同时「限定决策规则」，如何实现价值最大化的问题。

一、01 背包

「01背包」 是指给定物品价值与体积（「给定价值与成本」），在规定容量下（「限定决策规则」）如何使得所选物品的总价值最大。

有 N 种 物品和一个容量是 W 的背包，每种物品只有 一件。第 i 件物品的体积是 w[i]，价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

1、状态定义

dp[][] 二维数组，其中一维代表 「当前枚举到哪件物品」，另外一维 「现在剩余容量」，数组装的是「最大价值」。
考虑前 i 件物品，使用容量不超过 j 的条件下的背包最大价值。

对于第 i 件物品，有「选」和「不选」两种决策。

「不选」dp[i - 1][j] 等效于只考虑前 i - 1 件物品，当前容量为 j 的情况下的最大价值。
选第 i 件物品的话，需要消耗 w[i] 的背包容量，获取 v[i] 的价值，那么前 i - 1 件物品的背包容量就只有 j - w[i]，即最大价值为 dp[i - 1][j - w[i]] &#