图

一、图

在线性表中，数据元素之间是被串起来的，仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继。
在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素相关，但只能和上一层中一个元素相关。
图是一种较线性表和树更加复杂的数据结构。在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

1.1、图的定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合V ( G )和顶点之间边的集合E ( G )组成，通常表示为: G = ( V , E ) ；

• G 表示个图；
• V 是图G中顶点的集合；
• E是图G中边的集合；
• V = { v 1 , v 2 , . . . , v n } ，则用∣ V ∣ 表示图G中顶点的个数，也称图G 的阶；
• E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V } ，用∣ E ∣表示图G中边的条数。

注意: 线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。就是说，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集V一定非空，但边集E可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

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1.2、图的基本概念和术语

1、有向图

• 若E是有向边(也称弧)的有限集合时，则图G为有向图
• 弧是顶点的有序对，记为，其中v,w是顶点；
• v称为弧尾，w称为弧头，称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v；

有向图G₁可以如下表示：

G₁ = (v₁, E₁)
V₁ = {1, 2, 3}
E₁ = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>}

2、无向图

• 若E是无向边(简称边)的有限集合时，则图G为无向图；
• 边是顶点的无序对，记为(v, w)或(w,v),因为(v,w)=(w,v), 其中v,w是顶点；
• 可以说顶点w和顶点v互为邻接点；
• 边(v, w)依附于顶点w和v，或者说边(v, w)和顶点v, w相关联；

无向图G₂可以如下表示：

G₂ = (v₂, E₂)
V₂ = {1, 2, 3, 4}
E₂ = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, ❤️, 4>}

3、简单图
一个图G若满足：

• 不存在重复边；
• 不存在顶点到自身的边；

则称图G GG为简单图，上图中G₁ 和G~2`均为简单图。数据结构中仅讨论简单图。

4、多重图
若图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图。多重图的定义和简单图是相对的。

5、完全图（也称为简单完全图）

• 对于无向图，|E|的取值范围为0 ~ n(n-1)/2，有n(n-1)/2条边的无向图称为完全图，在完全图中任意两个顶点之间都存在边；
• 对于有向图，|E|的取值范围为0 ~ n(n-1)，有n(n-1)条弧的有向图称为有向完全图，在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧；

上面的G2是无向完全图，下面的G3是有向完全图；

6、子图
设有两个图G = ( V , E ) 和G ′ = ( V ′ , E ′ ) ， 若V ′是V的子集，且E ′ 是E的子集，则称G ′ 是G的子图。若有满足V ( G ′ ) = V ( G ) 的子图G ′ ，则称其为G的生成子图。上图中G ₃ 为G ₁ 的子图。

注意：并非V和E的任何子集都能构成G的子图，因为这样的子集可能不是图，即E的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个V的子集中。

7、连通、连通图和连通分量

• 在无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的；
• 若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图；
• 无向图中的极大连通子图称为连通分量；
• 若一个图有n个顶点，并且边数小于n − 1 ，则此图必是非连通图；

如下图(a)所示， 图G₄有3个连通分量，如图（b）所示：

8、强连通图、强连通分量

• 在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到项点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的；
• 若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图；
• 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量；

注意：强连通图、强连通分量只是针对有向图而言的。一般在无向图中讨论连通性，在有向图中考虑强连通性。

9、生成树、生成森林

• 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图；
• 若图中顶点数为n,则它的生成树含有n − 1条边；
• 对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路；
• 在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林；

图G₂的一个生成树，如下图所示：

10、顶点的度、入度和出度

• 图中每个顶点的度定义：以该顶点为一个端点的边的数目；
• 对于无向图，无向图的全部顶点的度之和等于边数的2倍，因为每条边和两个顶点相关联；
• 对于有向图，顶点v的度分为入度和出度，入度是以顶点v为终点的有向边的数目，而出度是以顶点v为起点的有向边的数目，顶点v的度等于其入度和出度之和；
• 有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点；

11、边的权和网
在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。

12、稠密图、稀疏图
边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。一般当图G满足∣E∣ < ∣V∣log∣V∣时，可以将G视为稀疏图。

13、路径、路径长度和回路

• 顶点V_p到V_q之间的一条路径，是指顶点序列；
• 路径上边的数目称为路径长度；
• 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环；
• 若有一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则此图一定有环；

14、简单路径、简单回路

• 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径；
• 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路；

15、距离

• 从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离；
• 若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷( ∞ ) ；

16、有向树

• 一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树

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1.3、图的存储结构

由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系，也就是说，图不可能用简单的顺序存储结构来表示。而多重链表的方式，要么会造成很多存储单元的浪费，要么又带来操作的不便。因此，对于图来说，如何对它实现物理存储是个难题，接下来我们介绍五种不同的存储结构：

1.3.1、邻接矩阵

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图：一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

设G有n个顶点，则邻接矩阵A是一个n*n的方阵，定义为：

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下图是一个无向图和它的邻接矩阵：

• 无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵（即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的），因此，在实际存储邻接矩阵时只需存储上(或下)三角矩阵的元素；
• 对于无向图，邻接矩阵的第i行(或第i列)非零元素(或非∞元素)的个数正好是第i个顶点的度，例如V₁的度就是1+0+1+0=2；
• 求顶点V_i的邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，A[i][j]为1就是邻接点；

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下图是有向图和它的邻接矩阵：

• 主对角线上的数值依然为0，但因为是有向图，所以此矩阵并不对称；
• 有向图讲究入度与出度，顶点v₁ 的入度为1，正好是第v₁ 列各数之和。顶点v₁的出度为2，即第v₁行的各数之和；
• 与无向图同样的办法，判断顶点v_i到v_j是否存在弧，只需要查找矩阵中A[i][j]是否为1即可；

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下图是有向网图和它的邻接矩阵：

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通过以上对无向图、有向图和网的描述，可定义出邻接矩阵的存储结构：

#define MaxVertexNum 100	//顶点数目的最大值
typedef char VertexType;	//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;	//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
	VertexType Vex[MaxVertexNum];	//顶点表
	EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];	//邻接矩阵，边表
	int vexnum, arcnum;	//图的当前顶点数和弧树
}MGraph;

注意：
① 在简单应用中，可直接使用二维数组作为图的邻接矩阵（顶点信息等均可省略）；
② 当邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeType可定义为值为0和1的枚举类型；
③ 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可以采用压缩存储；
④ 邻接矩阵表示法的空间复杂度为0(n²)，其中n为图的顶点数|V|；
⑤ 用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。但是，要确定图中有多少边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大；
⑥ 稠密图适合使用邻接矩阵的存储表示；

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1.3.2、邻接表

当一个图为稀疏图时（边数相对顶点较少），使用邻接矩阵法显然要浪费大量的存储空间，如下图所示：

而图的邻接表法结合了顺序存储和链式存储方法，大大减少了这种不必要的浪费；

邻接表：是指对图G中的每个顶点V_i建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点V_i的边（对于有向图则是以顶点V_i为尾的弧），这个单链表就成为顶点V_i的边表（对于有向图则称为出边表）。

边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（称为顶点表），所以在邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点，如下图示：

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无向图的邻接表的实例，如下图所示：

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有向图的邻接表的实例，如下图所示：

此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。

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图的邻接表存储结构，定义如下：

#define MAXVEX 100	//图中顶点数目的最大值
type char VertexType;	//顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType;	//边上的权值类型应由用户定义
/*边表结点*/
typedef struct EdgeNode{
	int adjvex;	//该弧所指向的顶点的下标或者位置
	EdgeType weight;	//权值，对于非网图可以不需要
	struct EdgeNode *next;	//指向下一个邻接点
}EdgeNode;

/*顶点表结点*/
typedef struct VertexNode{
	Vertex data;	//顶点域，存储顶点信息
	EdgeNode *firstedge	//边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

/*邻接表*/
typedef struct{
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges;	//图中当前顶点数和边数
}

图的邻接表存储方法具有以下特点：

• 若G为无向图，则所需的存储空间为0(|V| + 2|E|)；若G为有向图，则所需的存储空间为0(|V| + |E|)；谴谪的倍数2是因为，无向图中每条边在链接表中出现了两次；
• 对于稀疏图，采用邻接表表示将极大地节省存储空间；
• 在邻接表中，给定一顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表；在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为O(n)。但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低；
• 在有向图的邻接表表示中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表中的结点个数；但求其顶点的入度则需要遍历全部的邻接表。因此,也有人采用逆邻接表的存储方式来加速求解给定顶点的入度。当然,这实际上与邻接表存储方式是类似的；
• 图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的单链表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序；

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1.3.3、十字链表

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1.3.4、邻接多重表

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1.3.5、边集数组

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1.4、图的遍历