2584: 蓝桥杯2020年省赛真题-数字三角形（全网最详细带图解java动态规划解析）

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题目 2584: 蓝桥杯2020年第十一届省赛真题-数字三角形

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 解题思路：

这道题是标准的动态规划类型题目，由传统的“数字三角形”改编的，加了一个条件“向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1”

方法上我参考了c323u2bdf的https://blog.csdn.net/qq_60212533/article/details/127138546

可以从上至下思考，也可以从下至上，这里将从上至下的方法

首先通过一个二维数组 a[][] 存储数字三角形

然后再用一个二维数组存储 amax[][]  每个数字的路径最大和

① 从第一行第一个开始分析，以下图为例：

 到7的最大路径就是它本身，因此amax[0][0]=a[0][0]

② 然后看最左边这一列，它比较特殊，以下图为例：

3,8,2的上一个路径只能是上一行同列的位置，把斜着的图（左图）换成数组表示（右图）更清晰

也就是说，当列（j）为0（第一列）时，amax[i][j] = a[i][j] +amax[i-1][j]

③ 再看其他数字，以下图为例：

 每个数字可以是其上一行对应列或者上一行左侧一列的分支，因此他的最大路径应该是这两个数中较大的那个分支走下来的

amax[i][j]=Math.max(a[i][j]+amax[i-1][j], a[i][j]+amax[i-1][j-1])

④ 综上所述，我们得到了方程，其代码形式如下：

		amax[0][0]=a[0][0];     //首行首列元素的最大路径长度为其自身
	
		for(int i=1;i

⑤ 输出最大路径

这里我们需要注意前面提到的本题的附加条件“向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1”，这也就意味着最后一步总是集中于最后一行的中间，不明白的同学可以看下图：

 根据奇数行和偶数行要分别讨论：

当为奇数行的时候，最后一步必定是最后一行的中心位置，只有这样才能保证“向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1”

而当三角形为偶数行的时候，最后一步就可能是中间两个数其中的一个，因为要最大值，所以输出二者之间大的那个

代码形式如下：

if(n%2==0)
{
	System.out.print(Math.max(amax[n-1][n/2],amax[n-1][n/2-1]));
}
else
{
	System.out.print(amax[n-1][n/2]);
}

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整体代码如下所示：

import java.util.*;
public class Main 
{
	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sca=new Scanner(System.in);
		int n= sca.nextInt();
		int a[][]=new int[n][n];
		for(int i=0;i

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总结：

对于动态规划类的问题，关键在于状态转移方程，从一些已确定的边界着手推导结果