机器学习的数学基础（上）

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目录

机器学习的数学基础 1

高等数学 1

线性代数 9

概率论和数理统计 19

机器学习的数学基础 {#机器学习的数学基础 .58}

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\text{Δx}}$
（1）

或者：$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
（2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${f^{\prime }}_{-}(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\text{Δx}}={\lim }_{x\to x_0^{-}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x)$

右导数：${f^{\prime }}_{+}(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\text{Δx}}={\lim }_{x\to x_0^{+}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1:
函数$f(x)$在$x_0$处可微$\iff f(x)$在$x_0$处可导。

**Th2:**若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导。

Th3:$f^{\prime }(x_0)$存在$\iff {f^{\prime }}_{-}(x_0)={f^{\prime }}_{+}(x_0)$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)\ne 0$

5.四则运算法则

设函数$u=u(x),v=v(x)$在点$x$可导，则：

(1) ${\left(u\pm v\right)}^{{}^{\prime }}=u^{{}^{\prime }}\pm v^{{}^{\prime }}$      \text{\ \ \ \ }     

(2) $(\text{uv}{)}^{\prime }={\text{uv}}^{\prime }+{\text{vu}}^{\prime }$
$d(\text{uv})=\text{udv}+\text{vdu}$

(3) $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{{\text{vu}}^{\prime }-{\text{uv}}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$
$d(\frac{u}{v})=\frac{\text{vdu}-\text{udv}}{v^2}$

6.基本导数与微分表

(1) $y=c$（常数） 则： $y^{{}^{\prime }}=0$ $\text{dy}=0$

(2) $y=x^{\alpha }$($\alpha$为实数) 则： $y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$
$\text{dy}=\alpha x^{\alpha -1}\text{dx}$

(3) $y=a^x$ 则： $y^{\prime }=a^x\ln a$ $\text{dy}=a^x\ln \text{adx}$
特例: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ $d(e^x)=e^x\text{dx}$

(4) $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ 则：$\text{dy}=\frac{1}{x\ln a}\text{dx}$
特例:$y=lnx$ $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ $d(lnx)=\frac{1}{x}\text{dx}$

(5) $y=sinx$ 则：$y^{\prime }=cosx$ $d(sinx)=cos\text{xdx}$

(6) $y=cosx$ 则：$y^{\prime }=-sinx$ $d(cosx)=-sin\text{xdx}$

(7) $y=tanx$ 则： $y^{{}^{\prime }}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$
$d(tanx)={\sec }^2\text{xdx}$

(8) $y=cotx$ 则：$y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$
$d(cotx)=-{\csc }^2\text{xdx}$

(9) $y=secx$ 则：$y^{\prime }=secx\tan x$ $d(secx)=secx\tan \text{xdx}$

(10) $y=cscx$ 则：$y^{\prime }=-cscx\cot x$ $d(cscx)=-cscx\cot \text{xdx}$

(11) $y=arcsinx$ 则：$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$d(arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{dx}$

(12) $y=arccosx$ 则：$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$d(arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{dx}$

(13) $y=arctanx$ 则：$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$d(arctanx)=\frac{1}{1+x^2}\text{dx}$

(14) $y=arccotx$ 则：$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$d(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}\text{dx}$

(15) $y=sx$ 则：$y^{\prime }=cx$ $d(sx)=cxdx$

(16) $y=cx$ 则：$y^{\prime }=sx$ $d(cx)=sxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则:
设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{\frac{\text{dx}}{\text{dy}}}$

(2)
复合函数的运算法则:若$\mu =\phi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$($\mu =\phi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\phi (x))$在点$x$可导,且$y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$的求法一般有三种方法：

1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，$y^2$，$\text{lny}$，$e^y$等均是$x$的复合函数.
对$x$求导应按复合函数连锁法则做。

2)公式法.由$F(x,y)=0$知
$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=-\frac{{F^{\prime }}_x(x,y)}{{F^{\prime }}_y(x,y)}$,其中，${F^{\prime }}_x(x,y)$，
${F^{\prime }}_y(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

（2）KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

（3）KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

（4）KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

（5）KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'

（6）莱布尼兹公式：若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则：
${(\text{uv})}^{(n)}={\sum }_{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$，其中$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件：

(1)函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$,

(2) $f(x)$在$x_0$处可导,则有 $f^{\prime }(x_0)=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在闭区间$[a,b]$上连续；
(2)在$(a,b)$内可导；(3)$f\left(a\right)=f\left(b\right)$

则在$(a,b)$内$\exists$一个$\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在$[a,b]$上连续；(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：

(1) 在$[a,b]$上连续；(2)
在$(a,b)$内可导且$f^{\prime }(x)$，$g^{\prime }(x)$均存在，且$g^{\prime }(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ($\frac{0}{0}$型不定式极限)

设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
${\lim }_{x\to x_0}f\left(x\right)=0,{\lim }_{x\to x_0}g\left(x\right)=0$;
$f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$的邻域内可导
(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;

${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则：
${\lim }_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$

法则${\mathbf{I}}^{\prime }$
($\frac{0}{0}$型不定式极限)

设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
${\lim }_{x\to \infty }f\left(x\right)=0,{\lim }_{x\to \infty }g\left(x\right)=0$;存在一个$X>0$,当$\left|x\right|>X$时,$f\left(x\right),g\left(x\right)$可导,且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则：
${\lim }_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}.$

法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$**型不定式极限) **

设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
${\lim }_{x\to x_0}f\left(x\right)=\infty ,{\lim }_{x\to x_0}g\left(x\right)=\infty$;
$f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$ 的邻域内可
导(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;${\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty$)。

则：
${\lim }_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}.$

同理法则$I{I}^{\prime }$($\frac{\infty }{\infty }$型不定式极限)仿法则$I^{\prime }$可写出

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_0$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意点$x$，在$x_0$与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得：

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0){(x-x_0)}^2+\cdots$
$+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x)$

其中
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1}$称为$f(x)$在点$x_0$处的$n$阶泰勒余项。

令$x_0=0$，则$n$阶泰勒公式：

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$……

(1) 其中
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi$在0与$x$之间。(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$x_0=0$处的泰勒公式 ：

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }$
或 $=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{\text{nπ}}{2}+\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}\sin \left(\xi +\frac{n+1}{2}\pi \right)$

或
$=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{\text{nπ}}{2}+o\left(x^n\right)$

$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{\text{nπ}}{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}cos(\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或
$=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{\text{nπ}}{2}+o(x^n)$

$ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{{(-1)}^n{x}^{n+1}}{(n+1){(1+\xi )}^{n+1}}$

或
$=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

${(1+x)}^m=1+\text{mx}+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{x}^{n+1}{(1+\xi )}^{m-n-1}$

或
${(1+x)}^m=1+\text{mx}+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

12.函数单调性的判断

Th1:
设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'（或KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）。

Th2:
（取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取极值，则KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'.

Th3:
（取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域内可微，且KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'（或$f(x)$在$x_0$处连续，但KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'不存在.）。

(1)若当$x$经过$x_0$时，KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'由“+”变“-”，则$f(x_0)$为极大值；

(2)若当$x$经过$x_0$时，KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'由“-”变“+”，则$f(x_0)$为极小值；

(3)若KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'经过$x=x_0$的两侧不变号，则$f(x_0)$不是极值。

Th4:
(取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$x_0$处有$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，且KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'，则：

当KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'时，$f(x_0)$为极大值；
当KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'时，$f(x_0)$为极小值.
注：如果KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线

若${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=b$，或${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=b$，则$y=b$
称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线

若${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty$，或${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$，则$x=x_0$
称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线
若$a={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x},b={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-\text{ax}]$，则
$y=\text{ax}+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f^{\prime \prime }(x)<0$（或$f^{\prime \prime }(x)>0$），
则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2:
(拐点的判别定理1)若在$x_0$处$f^{\prime \prime }(x)=0$，（或$f^{\prime \prime }(x)$不存在），当$x$变动经过$x_0$时，$f^{\prime \prime }(x)$变号，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

Th3:
(拐点的判别定理2)设$f(x)$在$x_0$点的某邻域内有三阶导数，且$f^{\prime \prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

15.弧微分

$\text{dS}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}\text{dx}$

16.曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{(1+y^{\prime 2})}^{\frac{3}{2}}}.$
对于参数方程：

$\{\begin{array}{cc}& x=\phi (t)\\ & y=\psi (t)\end{array},k=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{{[{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)]}^{\frac{3}{2}}}$

17.曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$

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