前缀和与差分模板

前缀和O(1)

前缀和: 快速求出给定区间或矩阵的和
下标必须从1开始， 前缀和能在O（1）时间求出某个区间（一维）或子矩阵（二维）的和

一维前缀和：

s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i];
a[l] + … + a[r] = S[r] - S[l - 1]

acwing795. 前缀和

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )    cin >> a[i];  
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   a[i] += a[i - 1];
    
    while(m --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        printf("%d\n", a[r] - a[l - 1]);
    }
    return 0;
}

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二维前缀和：

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

acwing796. 子矩阵的和

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;

int s[N][N];
int n, m, q;

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )   
            cin >> s[i][j];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
    
    while(q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

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差分O(1)

一维差分:

差分简介:
差分:快速求出给定区间或矩阵+c的后的值
若有原数组 a₁ , a₂ … a_n
则需要构造的目标数组为b₁,b₂, …b_n
使得a_i = b₁ + b₂ + …+ b_i
那么就称a数组是b数组的前缀和,b数组是a数组的差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

acwing797. 差分

要在a[ l~ r ]中的元素全部加上C, —> a_l + C , a_l+1 + C ,… , a_r + C
那么只要在b_l+C后,则a_l后的所有元素都会加上C, 因为在求前缀和的时候b_l一定会被遍历到
因此只要让b_l+1 + C, b_r+1 - C

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

int a[N], b[N];
int n, m;

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cin >> a[i];
    
    //将原数组加到差分数组里面去, 构造差分数组
    //先假设a数组初始时全部是0,那么b也全部是0, 然后进行n次插入操作
    //把每个元素都看成是区间长度是1的线段,那么在该点插入与该点的下一个点删除,则刚好能构成差分数组
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   insert(i, i, a[i]);     
    
    while(m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);    //在目标位置完成插入删除操作
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   b[i] += b[i - 1];   
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cout << b[i] << ' ';
    return 0;
}

---

二维差分:

与一维差分类似,不过是在特定的矩阵中二维考虑如何进行构造差分数组的操作
假设左上角的下标是(x₁, y₁),右下角的下标是(x₂, y₂)
那么在(x₁, y₁)+C后,该点右下角所有的元素都会加+C
因此还需要将S₁,S₂和S₃的元素减掉即可

b[x₁,y₁] += c; //算出来x₁,y₁右下角所有加过C后的值,但现在只需要操作x₁,y₁到x₂,y₂的值,为保证其余数据保持不变,就要对S₁,S₂和S₃进行处理
b[x₂+1,y₁] -= c;      //减去s₁和s₃
b[x₁, y₂+1] -= c;     //减去s₂和s₃
b[x₂+1,y₂+1] += c;    //发现S₃被减了两次,加上即可

acwing798. 差分矩阵

#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N], n, m, q;

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m  >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   
        for(int j = 1; j <= m; j ++)    
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )   
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);                //与一维相似,构造差分矩阵
            
    while(q --)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )   
            printf("%d ", b[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;   
}