高斯消元(解线性方程组)

初等行列变换:

①把某一行乘以一个非零的数;

②交换某两行;

③将某行的若干倍加到另一行去。

高斯消元法:

高斯消元(解线性方程组)_第1张图片

 如图为n行等式,其中有n个未知数,我们知道n个方程解n个未知数。

通过开头介绍的不断地进行初等行列变换,我们得到如下一个倒三角形状的方程组:

高斯消元(解线性方程组)_第2张图片

 这就是所谓的高斯消元。

观察倒三角,我们可以得到Xn,从最后一个等式向上代换,可依次求解Xn-1,Xn-2...X2,X1 。如此便可求解。

但是解方程组时存在无解或者有多组解的情况。

如果上述的倒三角是一个完美的阶梯型,那么该方程组存在唯一解;

如果0*Xi=bi,那么无解;

如果0*Xi=0,那么存在无穷解。

 

高斯消元步骤:

列举矩阵每列c:

①找到绝对值最大的一行

②将该行移到第一行

③将该行第一个数变成一(需保证等式恒成立)

④将当前下面所有行的第c列的数消成0

 

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