Python | 蓝桥杯进阶第五卷——数论

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专栏： 蓝桥杯Python组刷题日寄

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买不到的数目

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成 4 颗一包和 7 颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用 4 和 7 组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入描述：
两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出描述：
一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入：
4 7

样例输出：
17

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解题思路

这里需要先确定上边界，然后针对小于其的数逐个判断即可。（代码1）

借助数论中的结论：自然数 $a,b$ 互质,则不能表示成 $ax+by$（$x,y$ 为非负整数）的最大整数是 $ab-a-b$，本题中所给出的数据全部为质数，因此可以使用。（代码2）

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参考代码

# 代码1
from math import gcd
def check(a, b, n):
    if n%a == 0 or n%b == 0:
        return True
    x = n//a
    mod = n%a
    for i in range(x+1):
        if (i*a+mod)%b == 0:
            return True
    return False

def func(a, b):
    # 计算上边界，这里取最小公倍数
    max_num = (a*b)//gcd(a, b)
    for i in range(max_num-1, 0, -1):
        if not check(a, b, i):
            print(i)
            break

a, b = map(int, input().split())
func(a, b)

# 代码2
n,m = map(int, input().strip().split()) 
print(n*m-m-n)

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幂方分解

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：
任何一个正整数都可以用 2 的幂次方表示。例如：
137=2^7+2^3+2^0
同时约定方次用括号来表示，即 ab 可表示为 a(b)。

由此可知，137 可表示为：
2(7)+2(3)+2(0)
进一步：7= 2^2+2+2^0 （2^1 用 2 表示）
3=2+2^0
所以最后 137 可表示为：
2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

又如：
1315=2^10+2^8+2^5+2+2^0
所以 1315 最后可表示为：
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

输入描述：
输入包含一个正整数 N（N<=20000），为要求分解的整数。

输出描述：
程序输出包含一行字符串，为符合约定的 n 的 0，2 表示（在表示中不能有空格）

样例输入：
1315

样例输出：
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

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解题思路

可以通过每个数的二进制来得到其二次幂分解：
比如样例中的 1315，其对应的二进制数为：0b10100100011
其中 1 对应的位置由高到低为：11 9 6 2 1
因此其对应二次幂分解为：1315 = 2^10 + 2^8 + 2^5 +2 ^1 + 2^0

对于 0 次幂和 1 次幂特别处理，而对于高次幂，通过递归调用。
注意：要从高次幂开始处理。

具体见参考代码及其注释。

参考代码

def trans(n):
    # 转为 2 进制后再处理
    tmp = list(bin(n))
    # 去除 2 进制前面的 0b
    n = tmp[2:]
    # 转换为整数
    n = [int(i) for i in n]
    res = ''
    for i in range(1, len(n) + 1):
        if n[len(n) - i]:
            if len(n) - i == 0:
                # 处理 0 次幂
                res += '2(0)+'
            elif len(n) - i == 1:
                # 处理 1 次幂
                res += '2+'
            else:
                # 其余情况，递归调用
                res += '2(' + trans(len(n) - i) + ')+'

    # 最后res会有一个 '+' 需要去除
    return res[:-1]

if __name__ == '__main__':
    n = int(input())
    print(trans(n))

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麦森数

题目：
时间限制：
3s

内存限制：
192MB

题目描述：
形如 2^p-1 的素数称为麦森数，这时 p 一定也是个素数。但反过来不一定，即如果 p 是个素数，2^p-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了 37 个麦森数。最大的一个是p=3021377，它有 909526 位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入 p(1000 < p < 3100000)，计算 2^p-1 的位数和最后 500 位数字（用十进制高精度数表示）

输入描述：
文件中只包含一个整数 p(1000 < p < 3100000)

输出描述：
第一行：十进制高精度数 2^p-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数 2^p-1 的最后 500 位数字。（每行输出 50 位，共输出 10 行，不足 500 位时高位补 0）
不必验证 2^p-1 与 p 是否为素数。

样例输入：
1279

样例输出：

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

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解题思路

对于一个十进制数 k，其位数 A 为：A = int(log10(k) + 1)

因为当 p 取较大值时，整个数过大，考虑到最后只需要输出 500 位，我们将其对 10**500 取幂，之后再按照要求格式输出。

具体见参考代码和注释。

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参考代码

from math import log10 as lg
p = int(input())
print(int(p * lg(2)) + 1)

num = 2**p - 1
# 预处理，因为最后只需要500位，对 10**500 取幂
num = num % (10**500)
res = []
# 计算结果
for i in range(500):
    res.append(num % 10)
    num //= 10

# 按照要求打印
for i in range(499, -1, -1):
    print(res[i], end='')
    if i % 50 == 0:
        print('')

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欧拉函数

题目：
时间限制：
1s

内存限制：
128MB

题目描述：

给定一个大于 1，不超过 2000000 的正整数 n，输出欧拉函数，phi(n) 的值。
如果你并不了解欧拉函数，那么请参阅提示。

提示：
欧拉函数 phi(n) 是数论中非常重要的一个函数，其表示 1 到 n-1 之间，与 n 互质的数的个数。显然的，我们可以通过定义直接计算 phi(n)。
当然，phi(n) 还有这么一种计算方法。
首先我们对 n 进行质因数分解，不妨设 n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak （这里 a^b 表示 a 的 b次幂，p1 到 pk 为 k 个互不相同的质数，a1 到 ak 均为正整数），那么
phi(n)=n(1-(1/p1))(1-(1/p2))....(1-(1/pk))
稍稍化简一下就是
phi(n)=n(p1-1)(p2-1)...(pk-1)/(p1*p2*...*pk)

计算的时候小心中间计算结果超过 int 类型上界，可通过调整公式各项的计算顺序避免(比如先做除法)!

输入描述：
在给定的输入文件中进行读入：
一行一个正整数 n。 不超过 2000000 的正整数 n.

输出描述：
将输出信息输出到指定的文件中:
一行一个整数表示 phi(n)。

样例输入：
17

样例输出：
16

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解题思路

直接按照定义来写即可

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参考代码

from math import gcd
n = int(input())
count = 0
for i in range(1,n):
    if gcd(i,n)==1:
        count += 1
print(count)

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