北京交大附中去年八年级秋季期中考试第26题,是一个手拉手模型

期中考试就要到了,我们试着找几道北京名校去年期中考试的原题练一练,感受一下难度,今天先看一下交大附中的第26题。

题如图:在等边△ABC中,点D是线段BC上一点,作射线AD,点B关于射线AD的对称点为E,连接EC并延长,交射线AD于点F。

这道题共有三个问题,第一问是补全图形,算是送分题,只要你明白轴对称的定义,就可以轻易画出来,如图二。

从题意中,我们可以知道几个信息,点B和点E到射线AD的距离相等,AB=AE,△ABO≌△AEO。

第二问是求∠AFE的度数。

这一问是解题的关键,有人可能会想到用“8字模型”或构全等三角形来求解,但会发现最终都缺乏条件。

我们可以先设∠DAC= α,再通过等量代换来计算。

△ABC为等边三角形,∠DAC= α,则∠DAB=60°- α,∠DAE=60°- α。

所以∠CAE=60°-2 α。

因为AB=AE,AB=AC,

所以AC=AE,△ACE为等腰三角形,∠ACE=∠AEC=60°+ α。

在△AEF中,∠DAE=60°- α,∠AEC=60°+ α;三角形内角和为180°。

所以∠AFE=60°。

再来看到三问:用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系,并证明。

看到这样的问题,我们就应该想到截长补短法。

如图三,延长FE到G,使EG=CF,连接AG。

我们来看△ACF和△AEG,已知AC=AE,EG=CF,只要能证明∠ACF=∠AEG,就可以证明这两个三角形全等。

∠ACE=∠AEC=60°+ α,而∠ACF和∠AEG分别是∠ACE和∠AEC的临补角。

所以∠ACF=∠AEG,△ACF≌△AEG,AF=AG。

在△AFG中,AF=AG,∠AFE=60°。

所以△AFG为等边三角形,AF=FG=EF+CF。

我们一起再来看一下这个图,会发现它是一个标准的手拉手模型,这也是近年来中考常考到的,甚至会出压轴题。

手拉手模型的定义:两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形形成的图形。△ABC和△AFG都是等边三角形,且有一个公共顶点A,共同构成手拉手模型。

这道题同样可以反过来出,考察利用“手拉手模型”求证一些三角形全等之类的问题。

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