学习通信原理之——彻底理解频谱和频谱密度
前言
最近还是在复习通信原理，但是对于频谱/频谱密度/能量谱/能量谱密度/功率谱/功率谱密度还是一知半解的，所以我就去各种看资料，看视频，又去问了问老师。
所以我在这里写下自己对这两个概念的一些分析和理解，不敢说100%正确，仅供大家参考。
文章目录
- 前言
- 频谱
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- 频谱的定义
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- 周期信号
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- 单边谱
- 双边谱
- 例子：周期矩形波信号
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- 求其傅立叶级数的Fn
- 画出其频谱图
- 特点
频谱
频谱的定义
我感觉最通俗的解释就是信号的某种特征量随信号频率的关系，称为频谱
周期信号
周期信号的傅立叶级数具有幅频特性和相频特性
单边谱
这里是傅立叶级数的普通形式
{ A n ( 幅度 ) ∼ ω φ n ( 相位 ) ∼ ω } \begin{Bmatrix}A_{n}(幅度) \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位) \sim \omega \end{Bmatrix} {An(幅度)∼ωφn(相位)∼ω}
A n = a n 2 + b n 2 n = 1 , 2 , 3... A_n=\sqrt[]{a^2_n+b^2_n}~~~ n=1,2,3... An=an2+bn2 n=1,2,3...
双边谱
这里是傅立叶级数的复数形式
{ ∣ F n ( 幅度 ) ∣ ∼ ω φ n ( 相位 ) ∼ ω } \begin{Bmatrix} \left | F_{n}(幅度)\right | \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位)\sim \omega \end{Bmatrix} {∣Fn(幅度)∣∼ωφn(相位)∼ω}
∣ F n ∣ = A n 2 n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \left | F_{n}\right |=\frac{A_n}{2}~~~n=0,\pm 1,\pm 2,... ∣Fn∣=2An n=0,±1,±2,...
例子：周期矩形波信号
我拿GeoGebra画了一个很粗略的表示，这个其实是周期性的，就是他其实是无限个矩形波函数，大家应该都懂我意思
矩形波信号：幅度为 1 宽度为 τ 周期为 T 矩形波信号：幅度为1 宽度为\tau 周期为T 矩形波信号：幅度为1宽度为τ周期为T
我们求其频谱也就是求傅立叶级数的系数Fn
求其傅立叶级数的Fn
F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n Ω t d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − j n Ω t d t = 1 T 1 − j n Ω e − j n Ω t ∣ − T 2 T 2 = 1 T 1 − j n Ω [ e − j n Ω T 2 − e − j n Ω ( − T 2 ) ] = 1 T 1 − j n Ω [ − 2 j s i n ( n Ω τ 2 ) ] = 2 T s i n ( n Ω τ 2 ) n Ω τ 2 ⋅ τ 2 = τ T S a ( n Ω τ 2 ) ( n = 0 , ± 1 , ± 2... ) \begin{aligned} Fn&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t)e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} e^{-jn\Omega t}|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} [e^{-jn\Omega \frac{T}{2} }-e^{-jn\Omega (-\frac{T}{2}) }] \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega}[-2jsin(n\Omega\frac{\tau }{2} )] \\ &=\frac{2}{T}\frac{sin(\frac{n\Omega\tau}{2} )}{\frac{n\Omega\tau}{2}} ·\frac{\tau}{2} \\ &=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega\tau}{2}) (n=0,\pm 1,\pm 2...) \end{aligned} Fn=T1∫−2T2Tf(t)e−jnΩtdt=T1∫−2T2Te−jnΩtdt=T1−jnΩ1e−jnΩt∣−2T2T=T1−jnΩ1[e−jnΩ2T−e−jnΩ(−2T)]=T1−jnΩ1[−2jsin(nΩ2τ)]=T22nΩτsin(2nΩτ)⋅2τ=TτSa(2nΩτ)(n=0,±1,±2...)
我们已知抽样函数 S a ( x ) 函数 = s i n x x τ 是信号宽度 , T 是信号周期 我们已知抽样函数Sa(x)函数=\frac{sinx}{x} \\\tau是信号宽度,T是信号周期 我们已知抽样函数Sa(x)函数=xsinxτ是信号宽度,T是信号周期
画出其频谱图
先画出Sa函数，注意坐标轴，我这里为了方便显示，取了几个具体的数值，实际上要根据题中的条件计算。
clear
close all
clc
% 定义时间轴t和信号x
t = -16:0.01:16;
x = (0.25)*sinc(t / pi);
% 绘制原始信号
plot(t, x, '--','LineWidth', 3);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
title('Sa(t)');
grid on;
hold on;
% 进行1/4倍采样
x_downsampled = downsample(x, 80);
% 计算新的时间轴
t_downsampled = t(1:80:end);
% 绘制降采样后的信号
stem(t_downsampled, x_downsampled, 'LineWidth', 3);
xlabel('w');
ylabel('Fn');
title('频谱图');
legend('频谱信号', '谱线');
grid on;
我们设 T = 4 τ F n = 1 4 S a ( n Ω τ 2 ) 则零点 n Ω τ 2 = π m ⇒ n Ω = 2 m π τ 我们设T=4\tau~~ Fn=\frac{1}{4}Sa(\frac{n\Omega\tau }{2} ) \\则零点\frac{n\Omega\tau }{2}=\pi m\Rightarrow n\Omega =\frac{2m\pi}{\tau} 我们设T=4τ Fn=41Sa(2nΩτ)则零点2nΩτ=πm⇒nΩ=τ2mπ
两个零点之间有4条谱线，这些谱线的位置和数量取决于信号的采样率和矩形波函数的宽度。
两个零点之间有 4 条谱线 , 谱线间隔为 Ω ω Ω = 2 π τ 2 π T = 4 最高点是 0.25 两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为\Omega \\ \frac{\omega }{\Omega}=\frac{\frac{2\pi }{\tau } }{\frac{2\pi }{T} } =4\\ 最高点是0.25 两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为ΩΩω=T2πτ2π=4最高点是0.25
Ω = 2 π T = 2 π f \Omega=\frac{2\pi }{T}=2\pi f Ω=T2π=2πf
因为周期门函数在时域是周期连续的，所以他在频谱上就是非周期离散的。
对应关系
| 时域/频域 | 时域/频域 |
|---|---|
| 周期 | 离散 |
| 非周期 | 连续 |
举个例子：
- 矩形波函数在时域是连续周期的，那么他在频谱上就是非周期离散的。
特点
- 周期信号频谱是离散谱（谐波性）。
- 谱线所处的位置是其频率Ω的整数倍。
- 一般具有收敛性，总趋势减小。