数字通信学习笔记——自相关函数、随机信号

目录

自相关函数

随机信号

1. 随机变量

 2. 随机过程

3. 随机过程的功率谱密度和自相关函数

4. 通信系统中的噪声

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自相关函数

相关是匹配过程，自相关是指延迟信号与其自身的匹配。

1. 实值能量信号x(t)的自相关函数定义为：

它是的函数。性质如下：

2. 实值功率信号的自相关函数定义为：

性质如下：

随机信号

1. 随机变量

随机变量的分布函数：

 分布函数的性质：

 随机变量的概率密度函数pdf定义为：

 概率密度函数的性质：

 随机变量的均值/期望定义为：（均值是一阶矩）

随机变量的均方值定义为：

 

随机变量与其期望的差值的期望是中心距，二阶中心矩是X的方差，定义为：

 方差=均方值和均值平方的差值：

通信系统分析中最重要的是一阶矩和二阶矩。

随机变量的N阶矩定义为：

 2. 随机过程

随机过程X(A,t)可以看作两个变量（事件A、时间t）的函数。对于确定的时间，X(A,t)退化为随机变量；对于确定的事件，X(A,t)退化为时间函数。为了简化，X(A,t)一般表示为X(t)。

1. 随机过程的统计平均

X(t)的均值定义为：

 其中表示在时刻观测随机过程所得到的随机变量，是时刻随机变量总体的概率密度。

X(t)的自相关函数是两个变量和的函数，即：

2. 平稳性

如果随机过程的任何维的统计特性不受时间平移的影响，则是严平稳的；

如果随机过程的二维统计特性（均值和自相关函数）不随时间起点的变化而改变，则是宽平稳的。

满足以下两式的随机过程是宽平稳的，严平稳必为宽平稳。

 3. 宽平稳随机过程的自相关函数

方差衡量随机变量的随机性，自相关函数衡量随机过程的随机性。

对于宽平稳过程，自相关函数只是时间差  的函数，即：

 对于零均值的宽平稳随机过程，如果从0增至某个数值时，变化缓慢，说明信号在时域上的两个采样值在平均意义上是相等的，则频域主要集中在低频段；如果随的增加而急剧减少，说明时域变化很快，则频域主要集中在高频段。

宽平稳自相关函数的性质：

3. 随机过程的功率谱密度和自相关函数

由自相关函数的形状可以知道一些带宽的信息：如果下降缓慢，则是低频带信号；如果下降很快，则是高频带信号。

功率谱密度函数与自相关是傅里叶变换对。

时域脉冲持续时间越短，自相关函数越窄。

4. 通信系统中的噪声

热噪声可以看作零均值的高斯随机过程，其在任意时间点t处的值n由高斯概率密度函数表示：

 中心极限定理：在通常条件下，不管原来的单个分布函数是什么，j个统计独立的随机变量之和的概率分布，当时，均为高斯分布。

 热噪声的频谱特性：功率谱密度在所讨论的频率点上都是一样的。也即，从直流到Hz的频率上，热噪声源在每单位带宽上产生的噪声功率相等，所以可以假设功率谱密度在频域内是平坦的。

 当噪声功率谱密度为常数时，称为白噪声，其特性如下：