高中奥数 2021-06-07

2021-06-07-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P36 例6）

设集合和是集合的两个分划,已知对任意两个交集为空集的集合,均有.求证:.

分析

由、的交集为空集,有.当每一个时,结论显然成立.

当某个,不妨设为小于时,设,这时与相交的至多有个;而至少有个集合与不相交,它们每一个的元素个数不小于.假如是所有、中最小的,则有.

证明

设,不妨设.

若,则

若,由于两两不相交,故中至多有个集合与的交集不空,从而另外的个集合均与的交集为空集,且这些集合的元素个数不小于.由,得.于是我们有

综上所述,命题成立.

2021-06-07-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 集合的分划 P36 例7）

设自然数集分划成个互不相交的子集:.求证其中必有某个子集,它具有如下性质:存在,使对任何正整数,都能找到,满足

分析

显然具有性质的子集,不可能是的分划中的有限集,不妨设的分划中的无限集为,令.

设是集合中的最大自然数,则以后的自然数都在中,即中存在任意有限长度的相继自然数段.只需证明:若不具有性质,则必具有性质.

证明

先证下面的引理:

引理设,且两两不相交.若包含任意有限长度的相继自然数段.而不具有性质,则中必定含有任意有限长度的相继自然数段.

引理的证明若不具有性质,则对于任给的,存在,使得对于的任何个数都可找到下标,数与之间至少有个相继自然数都不属于.

在中选取一个长度为的相继自然数段.若该段数中有个数属于,则因不具有性质,故在这个数中,存在两个数与,它们之间有个相继自然数都不属于,当然就都属于.若选出的长度为的相继自然数段中属于的数少于个,则当把这个相继自然数依次分成段,每段恰有个数时,由抽屉原理知其中必有一段个数中不含中的数,当然都属于.由的任意性知引理成立.

回到原题的证明.若具有性质,则结论成立;若不具有性质,则由引理知满足引理的条件.若具有性质,则结论成立;若不具有质,则又满足引理的条件.这样继续下去,或者在某一步得出具有性质,或者进行到最后,得到含有任意有限长度的自然数段,当然具有性质.