PH525x series - Central Limit Theorem and t-distribution

Central Limit Theorem

• 中心极限理论（CLT）

CTL是科学领域最经常使用的一种数学理论，具体是指：当样本量很大时，一个随机样本的平均数满足“以群体均数 为中心、以群体标准差除以样本量的开方为标准差”的正态分布。而一个随机变量的标准差分布便是该变量的标准误。

引申1：若是一个随机变量，且其平均数为、标准差为，为一个常量，那么: （1）的平均数为;（2）的平均数和标准差则分别为和。
由此，可推断出，当多次采取样本量为N的样本时，数据量：

大致满足以0为中心、以1为标准差的正态分布。

引申2：若有两个随机变量和，其各自平均数与方差分别为、和、，那么：（1）的平均数就是，的平均数就是 ；（2）若加上和互相独立，那么与的方差均等于。

总之，（1）若正态分布，那么同样为正态分布；（2）满足正态分布的变量，其和同样满足正态分布。

引申3：在零假设下，群体间的平均数并无差异，也就是大致满足以0为中心，以为标准差的正态分布，而统计量：

则大致满足以0为中心，以1为标准差的正态分布。但由于群体标准差未知，我们可以使用样本的标准差代替他们，即与，他们的定义如下：

WechatIMG126.jpeg

当M和N很大时， 同样满足以0为中心，以1为标准差的正态分布。

t-distribution

若从某一平均数为0的群体中获取一随机变量Y,那么统计量t：

满足t分布，t分布的密度曲线类似标准正态分布，但中间瘦一些、尾巴厚一些，但是当自由度增加时，它的分布就逐渐接近标准正态分布了，因此，在大样本量时，可以用标准正态分布来近似t分布。

补充知识：

• 来自《统计学：从概念到数据分析》
  中心极限定理成立的一份充分条件是：样本点是独立的，来自一个总体（同分布），总体均值存在，并且有非零有限总体方差。

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本章节中的涉及的几个R知识点

Skill 1: Download from within R

library(downloader) ##use install.packages to install
url <- "https://raw.githubusercontent.com/genomicsclass/dagdata/master/inst/extdata/femaleMiceWeights.csv"
filename <- "femaleMiceWeights.csv" 
download(url, destfile=filename)

Skill 2: Download from within R
有很多个人上传的R包在GitHub中，无法从CRAN中获取，可使用devtools包进行下载,如：

library(devtools)
install_github("genomicsc/dagdata")

#几个可能会用到的函数
#提取dagdata包中的数据
dir <- system.file(package="dagdata")
#列举路径中的文件
list.files(dir)
#生成路径
file.path(dir,"相对路径")

Skill 3: Brief Introduction to dplyr

library("dplyr")
##fileter函数可用来获取数据子集,与subset函数类似，select函数可以返回某数据框的某一列，有点是可以使用管道符链接（%>%），如：

chowVals <- filter(data,=="...") %>% select()

#注意：若data为数据框，返回的chowVals也为数据框，可使用unlist函数将chowVals转变为vectors,如：

chowVals <- filter(data,=="...") %>% select() %>% unlist

上述获取数据框子集的操作也可以这样：
chowVals <- data[ data$=="...", colnames(data)=="..."]

Skill 4: plot ggplot

library(rafalib)
library(igraph)
par(mfrow(1,2)) #将画布分为1行两列
qqnorm(y, ylim, main = "Normal Q-Q Plot",
            xlab = "Theoretical Quantiles", ylab = "Sample Quantiles",
            plot.it = TRUE, datax = FALSE, ...) #绘制qq图
qqline(y, datax = FALSE, distribution = qnorm,
            probs = c(0.25, 0.75), qtype = 7, ...) #绘制theoretical distribution

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