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1. 线性常系数微分方程

考虑如下线性常系数微分方程，

利用这个线性常系数微分方程，得到了系统输入输出的一个隐式表达，为了得到明确的输入输出表达，必须求解这个微分方程。

微分方程描述的只是系统输入和输出之间的约束关系，为了完全表征系统，必须同时给出附加条件。

我们所研究的因果线性时不变系统，所隐含的附加条件就是初始松弛（initial rest）。

现在求解这个微分方程，考虑

求解系统输出。

线性常系数微分方程的解由特解（particular solution）和通解y_h(t)（homogeneous solution）构成，

特解满足原线性常系数微分方程，而通解y_h(t)需要满足以下线性常系数齐次微分方程，

已知输入，当时输入可以简化为。求特解的通用办法是找到所谓的受迫响应（forced response），即一个与输入形式相同的信号。设时，

将特解代入微分方程可得当时，

假设

代入齐次微分方程，得到

根据初始松弛条件，有，

又由于初始松弛，，所以得到完全解，

通过上面这个例子，可以看出线性常系数微分方程所表示的系统对某个输入的响应一般都是由一个特解和一个齐次解（即输入置0时微分方程的解）所组成，齐次解也往往称为系统的自然响应。为了完全确定微分方程所描述的系统的输入输出关系，就必须指定附加条件，不同的附加条件会导致不同的输入输出关系。

现在考虑阶线性常系数微分方程，

阶次指的是出现在这个方程中输出的最高阶导数。

需要注意，线性常系数微分方程所描述的系统不一定是线性的，只有当附加条件是初始松弛是，其所描述的系统是线性时不变的，而且还是因果的。

阶线性常系数差分方程

解法与微分方程类似，同样包含一个特解和一个齐次解，同样需要附加条件。一般附加条件都是初始松弛，初始松弛条件下，该方程所描述的离散系统就是LTI系统，而且因果。

从另外一个角度看差分方程所描述的离散系统，将上面那个差分方程进行如下改写，

这样，输出直接就由以前的输入和输出值来表示。而且可以看出求就需要附加条件。上面这个方程称为递归方程。当时称为非递归方程，因为当时不需要递归地利用前面计算的输出值来计算当前的输出值。

由此可以看出的表达式也恰好是其卷积和表达。

注意它的单位脉冲响应是有限长度的，所以这个的表达所描述的系统称为有限脉冲响应（FIR）系统

这一节就比较简单了。有两点需要注意，

第一点是连续时间系统中，微分器实现困难，而且对噪声和误差极为灵敏，因此一般对线性常系数微分方程左右两边同时做从到的积分，然后利用积分器组成系统框图。积分器可以方便的利用运算放大器实现。
第二点非常有意思，考虑将阶线性常系数差分方程表示为如下框图，

N阶差分方程系统框图

图中，左右两侧分别为LTI系统，根据我们前面的学习，LTI系统的级联与顺序无关，那我们将上面这个框图从处截断，调换级联顺序，可得下图，

调换级联顺序后的系统框图

上图红圈中所标识的net具有相同的value，那么红圈下方所有的存储器D，其左右两边的存储器存储了相同的值，因此进行如下简化，

左右两路存储器结合为一路

这样做后，输出结果没有改变，但所需要的的存储单元节省了一半！你细品！