[P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】

前言

Schwarz(1843-1921)德国数学家

Schwarz主要贡献在复变函数,偏微分方程,变分学和几何学方面。他在数学中的重要贡献之一就是补救了Riemann关于映射定理证明中的缺陷,这一工作巩固了Riemann理论的基础。1873年,他首次指出多元二阶混合偏导数相等的条件。他用直圆柱体作反例,说明曲面的面积不能简单地用内接多面体表面积的极限去定义。人们早就知道在体积相同的立体之中,表面积最小的是球,但直到Schwarz才给出严格证明(1884)。他在1885年的一篇论文中论证了所谓范数的“Schwarz不等式”,即 ,该式已成为函数论的重要工具。他的其他论著涉及自守函数论,超几何级数论,偏微分方程解的存在性证明等。他是德国数学界领导人之一,对20世纪初的数学发展做出了重要贡献。

目录:

    1: 内积与能量

    2: 许瓦兹不等式

    3: 物理学角度理解柯西不等式


一 内积与能量

   任意复信号x(t) 与 y(t)的内积定义为:

   <x,y>=\int x(t)y^{*}(t)dt

  信号之间的内积是互能量E_{xy}

  E_x=\int x(t)x^*(t)dt=\int |x(t)|^2dt


 


 

 

二 许瓦兹不等式

    互能量的模小于等于自能量几何平均

    |E_{xy}| \leq \sqrt{E_xE_y}

    即

   |\int x(t)y^*(t) d t| \leq \sqrt{E_x E_y}

  证明:

       假设z(t)=y(t)-\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)

       则\int z(t)x^*(t)dt=\int y(t)x^*(t)dt - \frac{E_{yx}}{E_x}\int x(t)x^*(t)dt

            E_{zx}=E_{yx}-\frac{E_{yx}}{E_x}E_x=0

             即 z(t) 和 x(t) 正交

             y(t)=z(t)+\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)

            y^*(t)=z^*(t)+\frac{E_{yx}}{E_x}x^*(t)

           则

        E_y= E_z+(\frac{E_{yx}}{E_x})^2 E_x

     因为能量的非负性,所以

  E_y \geq \frac{E_{yx}^2}{E_x}

   即

  E_yE_x \geq E_{yx}^2

等式成立的条件是E_z=0

z(t)=y(t)-\frac{E_{yx}}{E_x}x(t)

即 y(t) 和 x(t)存在一个线性关系 


三  物理学角度-柯西不等式

      奥古斯坦-路易·柯西(Augustin-Louis Cauchy)是现代的第一个伟大的法国数学家,他于1789年8月21日出生在巴黎。现代数学中两个很令人感兴趣的问题应归功于柯西。第一个是把严格性引进了数学分析。在引进严格性之前,数学分析就是整整一座谬误之神的万神殿。在这方面,柯西与高斯、阿贝尔一起,是伟大的先驱者。正是柯西,使人们接受了数学分析中的严格性。

       这里面我们从物理学角度去理解理解一下内积,柯西不等式的原理,证明

   3.1 内积

        内积 反应的是 位移大小*平行有效分力大小

   [P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第1张图片

 3.2  根据夹角的不同,分为三种场景

[P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第2张图片

 

  3.3 内积

    \bar{a}=[a_1,a_2]

    \bar{b}=[b_1,b_2]

    \bar{a} \bar{b}=[a_1b_1,a_2b_2]

[P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第3张图片

 [P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第4张图片

 综合一下

[P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第5张图片

 [P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第6张图片

 3.4 高中数学证明方法

    [P6][通讯原理]【许瓦兹不等式】_第7张图片

 

 

参考: 

【通讯原理】北京邮电大学 杨鸿文 

你可能感兴趣的:(servlet,数据挖掘,算法)