高中奥数 2021-10-17

2021-10-17-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P077 习题05）

在锐角中,,点是边上一点,使得.证明:.

证明

记,则,,利用正弦定理可,,从而,要证的式子等价于,最后一式是显然的.

2021-10-17-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P077 习题06）

设、分别是的外接圆半径和内切圆半径,、分别是的外接圆半径和内切圆半径.证明:若,,则.

证明

因为,,,所从,即.

设,,,,,,因为,所以,即,得,有,或.

又,于是或.

故.

2021-10-17-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角法 P077 习题07）

在一个非钝角中,,,和分别是的外心和内心,.求.

解

由已知条件及Euler公式得.(1)

再由熟知的几何关系得.(2)

由(1)和(2)及正弦定理得,.

因为,,.

所以,,.

于是或(这时).

总之,或或.