你好,微积分,希望可以认识你…
呃!同学,你好,你想认识我,得先认识导数和积分,我其实是导数和积分的合体。
嗯!好吧!那我先了解一下什么是导数吧!
导数是用来分析变化的一种工具。
那么,什么是变化率呢?首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变,有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头(是激烈还是缓慢),比如自行车爬坡的速度,从坡谷到坡顶的过程中,速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化,速度变化最激烈是那一个点呢? 坡度也会变化,最陡最峭的是那一段呢? 这些,用导数就可以数值化表示。
现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势,及早规防、准备将进行的事,例如天气预报、股票分析、图像处理,又或者预测某人有无喝醉了酒,等等。
求导数即是求变化率,比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率,假如这个坡没有高低起伏,像一条斜线,则它的斜率是恒定的,计算也很简单,从中(a)取一段距离(x),用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法,写成公式: 斜 率 = ( f ( a + x ) − f ( a ) ) / x 斜率 = (f(a+x) - f(a)) / x 斜率=(f(a+x)−f(a))/x。
求导,里面有一个称为“极限”的东西,什么是“极限”呢? 比如做俯卧撑,一直做下去,总有一个数是你不能达到,但又可以无限接近的,这个数就是你做俯卧撑的极限,当你无限接近这个极限时你会出现什么情况,这个情况就是“导数”,千万不要把手都撑断了。
y = f ( a ) y=f(a) y=f(a) 的斜率可以这样表示: lim x → 0 f ( a + x ) − f ( a ) x \lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}} limx→0xf(a+x)−f(a)
这个公式叫做函数f(a)的导函数,意思是: 当x无限接近0时,变化的结果是什么。
导函数可以用 f ′ ( a ) f'(a) f′(a)表示,读做“f撇a”。
完整的导函数式: f ′ ( a ) = lim x → 0 f ( a + x ) − f ( a ) x f'(a) = \lim^ {}_{x \to 0}{\frac{f(a+x) - f(a)}{x}} f′(a)=limx→0xf(a+x)−f(a) 这个公式称为基本求导公式
导数还有另外一种表示方法,对函数f(x)关于x的求导,可以表示为: d y d x \frac{dy}{dx} dxdy
也可以表示为: d f ( x ) d x \frac{df(x)}{dx} dxdf(x)
以可以表示为: d d x f ( x ) \frac{d}{dx}f(x) dxdf(x)
这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母,上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数,与f撇的写法区别是,它明确表示出关于什么求导。
到此,大概也认识了导数,通过多点练习去加深印象吧,下面我们说说积分。
Hello,大家好,轮到我积分出场了,我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵!
积分是导数的逆运算,二者就像硬币正反面,也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。
哈哈! 积分最早就是用来求圆形的面积的。
用符号 ∫ \int ∫ 表示积分,这个符号和 f f f 有点相似, 笔画比 f f f 少了一小点,大家还记得导数的符号吗?
导数的符号 f ′ f' f′, 它比 f f f多了一点,导数积分的中分正是原函数。
读法: 求函数f(x)关于x的积分,表示法: ∫ f ( x ) d x \int{f(x)}dx ∫f(x)dx
读法: 求函数f(x)关于y的积分, 表示法: ∫ f ( x ) d y \int{f(x)}dy ∫f(x)dy
通过式子可以知道,求关于什么的积分,这个“什么”就要写 d d d后面,例如上面求关于x时写成 d x dx dx。
积分是导数的逆运算,逆运算是倒过来算的意思,如果要计算 ∫ f ( x ) d x \int{f(x)}dx ∫f(x)dx, 只需要考虑“关于x求导得到f(x)的函数是什么",就可以算出积分。
来点例子?
∫ x 2 d x \int{x^2}dx ∫x2dx : 关于x求导得到 x 2 x^2 x2 的函数是什么呢?用前面认识的求导公式计算
x 3 x^3 x3求导得多少? 是 3 x 2 3x^2 3x2, 想办法把3去掉,就可以得到 x 2 x^2 x2了
对 ( 1 3 x 3 ) ′ (\frac{1}{3}x^3)' (31x3)′求导,就可以得到$(\frac {1}{3} \times x^3)’ = \frac{1}{3} \times 3x^2 = x^2 $
所以上面关于 x 2 x^2 x2 求 x 的积分的解是: 1 3 x 3 \frac{1}{3}x^3 31x3
但是
求导后得到 x 2 x^2 x2的函数可不止 1 3 x 3 \frac{1}{3}x^3 31x3,例如 1 3 x 3 + 3 \frac{1}{3}x^3 + 3 31x3+3, 1 3 x 3 + 4 \frac{1}{3}x^3 + 4 31x3+4 等等的原函数,经过求导后得到的也是 x 2 x^2 x2 , 因为对常数项求导等于0, 上面公式: p ′ = 0 p' = 0 p′=0 。
所以,如果只说求积分,我们可以得到很多答案,为此,人们想出了一种汇集所有答案的表示方法:
∫ x 2 d x = 1 3 x 3 + C \int{x^2}dx = \frac{1}{3}x^3 + C ∫x2dx=31x3+C (C 称为积分常数,是英文单词:Constant(常数) 的首字母)
重点:含有积分常数的积分叫做不定积分。 因为常数有无限多个,所以用“不定”来表达。
对f(x)求导得到的函数叫做导函数——导数。
对f(x)的求不定积分得到的函数叫原函数——积分。
很少会有求不定积分的题目,都说了“不定”,无法求出具体答案的,求积分时,通常要增设一些条件,通过条件巧妙地把积分常数C消掉,固定了条件的积分称为“定积分”。
定积分和不定积分看起来相似,其实存在很大的差异。首先不定积分是之前介绍的“求导得到f(x)的函数”。假设原函数写成F(x), 则F(x)是“ … + C(C为积分常数)” 这样的形式。
而定积分呢? 它比不定积分多了一项运算,该运算写成:
假如有一个表示当天股价的函数 k(x), “ k ( x ) ∣ 昨 天 今 天 k(x)|^{今天}_{昨天} k(x)∣昨天今天 " 意思是 [ k ( 今 天 ) − k ( 昨 天 ) ] [k(今天)-k(昨天)] [k(今天)−k(昨天)]。
例如: 3 x ∣ 2 7 3x|^{7}_{2} 3x∣27 表示 [ 3 × 7 − 3 × 2 ] [3 \times 7 - 3 \times 2] [3×7−3×2]
假设 f(x) 的不定积分为 F(x), 结合上面示例,定积分的表示为:
例如: F(x) = 3x + 771, 将a、b代入上式进行减法运算
F ( x ) ∣ a b = ( 3 b + 771 ) − ( 3 a + 771 ) = 3 b − 3 a F(x)|^{b}_{a} = (3b+771) - (3a+771) = 3b - 3a F(x)∣ab=(3b+771)−(3a+771)=3b−3a
由此可见,1.不定积分的积分会消掉, 2.定积分的结果不是函数,而是常数。
好吧,导分和积分大概就是这样子的了,想继续深入就要背公式和做练习啦!
来到最后,我们的主角“微积分”要登场了,它是导数和积分的合体,下面看看它的真面目是怎样的
f ( x ) = d d x ∫ 0 x f ( t ) d t f(x) = \frac {d}{dx} \int^ {x}_{0}f(t)dt f(x)=dxd∫0xf(t)dt
这个算式称为“ 微积分基本定理”。
公式供我们先认识一下,原理则留待下次再解释。因为我还没有弄懂!