微积分(二)——曲线积分与曲面积分笔记

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

最近更新时间：
2020.07.13 添加曲面积分内容
2020.07.15 添加多元积分应用题内容
2020.07.17 曲线积分与曲面积分奇点问题

曲线积分

将题目分为四类，

1. 对弧长的线积分
2. 对坐标的线积分
3. 曲线积分证明题
4. 空间中的线积分

对弧长的线积分

根据第一类线积分的定义，是各小弧段长度的最大值趋近于0时与函数f(xi,yi)乘积的和的极限，其中xi,yi是各小弧段中的任意一点。

长度是一个标量，所以第一类线积分与积分路径无关。可以想象为求不均匀密度曲线型构件的质量。

计算

1. 参数方程
2. 直角坐标系
3. 极坐标方程
4. 奇偶性和对称性

前三种计算方法要根据题目的具体情况而定，计算量差别不大。当遇见像双纽线这种高次方程时，前两种方法计算量很大，极坐标方程有解题优势，应考虑用极坐标方程。

奇偶性和对称性对直角坐标系作用最明显也最常用，因为两个变量如果能消去一个计算量大减。参数方程和极坐标方程也需考虑。

对坐标的线积分

以平面为例，第二类线积分的定义就已经定义了P(x,y)和Q(x,y)两个对应x轴和y轴的函数。当各小弧段的最大值趋于0时，将弧段视为有向弧段，且弧段可以近似用有向曲线元Δr = dxi + dyj代替，计算P(xi,yi)对dxi和的极限，为有向曲线段对坐标x的曲线积分，计算Q(xi,yi)对dyi和的极限，为有向曲线段对坐标y的曲线积分。

第二类线积分积分路径的方向有关，可以想象为平面上的变力做功，将变力分解为沿x轴和y轴的两个分力。从点A到点B和从点B到点A的做的功互为相反数。

计算

1. 直接参数方程法
2. 格林公式

直接参数方程法

直接参数方程法虽然通用，但是很少用，要掌握有这个方法。

格林公式

线积分绝大部分题都离不开格林公式，格林公式十分优美，证明方法也熟悉，但还是没能直观理解。
以下为使用格林公式解题的基本思路。

基本思路：

线积分证明题

只要是证明题，就具有综合性。下面是一部分出题的角度，可以作为思考方向的辅助。

出题角度：

• 给出一些与线积分计算有关的条件，结合综合知识点（微分方程、基本不等式、三角函数、极限）等进行证明。
• 给出一些与线积分计算有关的条件，利用画出的辅助积分区域进行证明。
• 第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系，外法线方向余弦和切向量方向余弦的关系。

空间中的线积分

到了三维角度，直接参数法就变得有用了起来，格林公式不再适用，需使用斯托克斯公式。但因为三维是二维的延伸，考查对线积分的掌握无需扩展到三维，且三维计算量大。三维的部分目前阶段只需做了解，掌握直接参数法。

曲面积分

主要分为以下三个部分

1. 对面积的曲面积分
2. 对坐标的曲面积分
3. 曲面积分证明题

与线积分相比，面积分的证明题更加局限。我感觉本章的难点还是在格林公式综合应用那一部分。

对面积的面积分

第一类曲面积分的定义可直接类比第一类曲线积分

根据第一类曲面积分的定义，是各小曲面直径的最大值趋近于0时,各小曲面的面积与函数f(xi，yi，zi)乘积的和的极限，其中xi,yi，zi是各小弧段中的任意一点。

面积是一个标量，所以第一类面积分与曲面的侧的选取无关。可以想象为求不均匀密度曲面构件的质量。

计算

1. 直角坐标系
2. 奇偶性和对称性
3. 形心公式

相比与曲线积分少了参数方程和球坐标系，应该是不易计算。

直角坐标系
在使用直接坐标系中要注意dS面积微元的多样性以及投影域D的选择。
比如在圆柱侧曲面中，可取环状曲线做面积微元。
在积分曲线中没有z变量，比如柱面x^2 + y^2 = 9中，便不能投影到xOy面，尝试投影到xOz或yOz面。

奇偶性
对称性是根据面对称来定义的，比如关于xOy面对称，观察被积函数中z的奇偶性。
如果积分曲面∑方程中两个变量对调其方程不变，则将被积函数中这两个变量对调积分值不变。
曲面积分同样可以关于比如x=a形式对称，意义为关于平面x=a对称，那么被积函数为x-a时，积分为0，简化计算。

形心公式
形心公式不仅适用于二重与三重积分，同时还适用于曲线和曲面积分。公式与重积分相似。

对坐标的面积分

对坐标的面积分仍然可以和对坐标的线积分类比。

有向弧段 >>>> 有向曲面块

对x,y坐标的曲线积分(曲线投影) >>>> 对xOy、yOz、xOz面的曲面积分（曲面投影）

有向曲线元Δr = dxi + dyj >>>> 有向面积元ΔS = dydzi + dzdxj + dxdyk

对坐标的面积分定义了P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)这三个对应yOz、xOz，xOy面投影的函数。当各小曲面块的直径最大值趋于0时，将曲面块视为有向曲面块，且曲面段可以近似用有向曲面积元代替，分别计算各被积函数对应的坐标面和的极限，便为对曲面的第二类积分。

第二类面积分与积分面的侧有关，可以想象为在湍流中的渔网，假设湍流中的液体是不可压缩流体。从渔网进去的流量和从从渔网出去的流量应视为相反。

计算

1. 分别计算（直接计算）
2. 高斯公式

直接计算
由于写出曲面的参数方程不易，第二类曲面积分直接对各投影面分别计算，将曲面积分转为二重积分计算。

高斯公式
当空间闭区域由分片光滑的曲面围城，且各被积函数有一阶连续偏导数时，闭曲面取外侧，则可以利用高斯公式。
同样的，可以补曲面利用高斯公式，再将补的曲面减回来。

曲面积分证明题

只见过一种，即第一类面积分与第二类面积分的转化。涉及外法线向量。

积分应用题

多元积分应用题

多元积分应用题，大致分为两类

1. 单纯求物理量的应用题，包括质心、转动惯量、变力做功、通量、质量，几何度量等。质心和转动惯量的公式要记得。
2. 需要分析问题的应用题，这种题更像是物理题，也更难一些。比如经典的雪堆融化题目，需要求出雪堆的体积和侧面积两个物理量，并且列出微分方程。解题的时候要注意可能求解的布置一个物理量，坐标系可能要自己建立，如果有局限的点，注意点在坐标系中选取的位置尽量简便。

多说几句

写写我错了几次的地方

• “截”出 与 “围”成
• 重积分与线面积分
• 曲线积分与曲面积分的奇点问题

第一点，记得有道题，说是圆柱面x^2 + y^2 = 4被平面x + z = 2和z = 0所截出部分的外侧，我寻思这是个封闭图形啊。便用了高斯公式，一看答案说是不封闭图形，我画了好久也没看出哪不封闭了。我觉得可能是我想错了，便花了半个多小时找到了一个3D函数绘制网页验证，果然是封闭的。我没办法只能接着看答案，发现它只算了侧面的部分，平面没有算。当时我打心底感叹(bb)how you made 中国话。

第二点，曲线和曲面积分，积分域是可以等式成立的，比如x^2 + y^2 +z^2 = 1,若计算曲面积分，且被积函数有x^2 + y^2 +z^2 项，可以将1直接带入，简化计算。而重积分不可以，因为重积分是x^2 + y^2 +z^2 <= 1，不等关系。在计算中我们用格林公式或高斯公式，转来转去时，一定要搞清楚现在算的积分是重积分还是曲线面积分，不要混淆了。

第三点，在判断奇点的时候一定要把能替换成常数的式子都替换出来。比如有个题的题意大概是求两问，第一问是求上半球面的外侧，第二问是求上半椭圆面的外侧。被积函数在原点处不连续。我先入为主认定它不连续，即第一问和第二问都有奇点。补面补的很麻烦。但实际是第一问的分母可以直接提出去，之后就含有一阶偏导数补了平面就好了。

那个超好用的3D绘图网站叫做GeoGebra。