剑指 Offer 60. n个骰子的点数

剑指 Offer 60. n个骰子的点数

难度：$middle$

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题目描述

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
复制示例输入

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]复制示例输入

限制：

$1<=n<=11$

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算法

(动态规划)

设输入 n 个骰子的解（即概率列表）为 f(n) ，其中「点数和」 x 的概率为 f(n,x) 。

假设已知 n−1 个骰子的解 f(n−1) ，此时添加一枚骰子，求 n 个骰子的点数和为 x 的概率 f(n,x) 。

当添加骰子的点数为 1 时，前 n−1 个骰子的点数和应为 x−1 ，方可组成点数和 x ；同理，当此骰子为 2 时，前 n−1 个骰子应为 x−2 ；以此类推，直至此骰子点数为 6 。将这 6 种情况的概率相加，即可得到概率 f(n,x) 。递推公式如下所示：

$f(n,x)={\sum }_{i=1}^{6}f(n-1,x-i)\ast 1/6$
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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$

• 空间复杂度 : $O(n)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
        vector<double> res(n * 5 + 1);
        vector<vector<double>> f(n + 1, vector<double>(n * 6 + 1, 0));

        for (int i = 1; i <= 6; i ++)
            f[1][i] = 1.0 / 6;

        for (int i = 2; i <= n; i ++)
            for (int j = i; j <= i * 6; j ++)
                for (int k = 1; k <= 6; k ++)
                {
                    if (j - k >= i - 1)
                        f[i][j] += f[i - 1][j - k]/6;
                }

        for (int i = 0; i <= n * 5; i ++)
            res[i] = f[n][n + i];

        return res;
    }
};

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