成长的小牛233
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线段树



 

数据结构专题——线段树

标签： buildquery存储c
2012-10-04 14:18  61010人阅读  评论(40)  收藏  举报
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ACM回忆（46） 

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目录(?)[+]

线段树


转载请注明出处，谢谢！http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326 

持续更新中···


一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍


2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. using namespace std;  
  3.   
  4. const int maxind = 256;  
  5. int segTree[maxind * 4 + 10];  
  6. int array[maxind];   
  7. /* 构造函数，得到线段树 */  
  8. void build(int node, int begin, int end)    
  9. {    
  10.     if (begin == end)    
  11.         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
  12.     else    
  13.     {     
  14.         /* 递归构造左右子树 */   
  15.         build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
  16.         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   
  17.            
  18.         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
  19.         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
  20.             segTree[node] = segTree[2 * node];    
  21.         else    
  22.             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
  23.     }    
  24. }  
  25.   
  26. int main()  
  27. {  
  28.     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
  29.     build(1, 0, 5);  
  30.     for(int i = 1; i<=20; ++i)  
  31.      cout<< "seg"<< i << "=" <
  32.     return 0;  
  33. }   
 此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
  2. {   
  3.     int p1, p2;    
  4.     
  5.     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
  6.     if (left > end || right < begin)    
  7.         return -1;    
  8.     
  9.     /*  if the current interval is included in  */    
  10.     /*  the query interval return segTree[node]  */  
  11.     if (begin >= left && end <= right)    
  12.         return segTree[node];    
  13.     
  14.     /*  compute the minimum position in the  */  
  15.     /*  left and right part of the interval  */   
  16.     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
  17.     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    
  18.     
  19.     /*  return the expect value  */   
  20.     if (p1 == -1)    
  21.         return p2;    
  22.     if (p2 == -1)    
  23.         return p1;    
  24.     if (p1 <= p2)    
  25.         return  p1;    
  26.     return  p2;      
  27. }   

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
  2. {    
  3.     
  4.     if( begin == end )    
  5.     {    
  6.         segTree[node] += add;    
  7.         return ;    
  8.     }    
  9.     int m = ( left + right ) >> 1;    
  10.     if(ind <= m)    
  11.         Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
  12.     else    
  13.         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
  14.     /*回溯更新父节点*/    
  15.     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     
  16.          
  17. }   

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  
  2.    
  3. {  
  4.    
  5.   if (a <= p->Left && p->Right <= b)  
  6.    
  7.   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  
  8.    
  9.   {  
  10.    
  11.      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  
  12.    
  13.      return;  
  14.    
  15.   }  
  16.    
  17.   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  
  18.    
  19.   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 
  20.   
  21.   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  
  22.    
  23.   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  
  24.    
  25.   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  
  26.    
  27. }  



3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）


二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include    
  2.   
  3. using namespace std;    
  4.     
  5. #define MAXN 100    
  6. #define MAXIND 256 //线段树节点个数    
  7.     
  8. //构建线段树,目的:得到M数组.    
  9. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
  10. {    
  11.     if (b == e)    
  12.         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
  13.     else    
  14.     {     
  15.         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
  16.         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  17.   
  18.         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
  19.             M[node] = M[2 * node];    
  20.         else    
  21.             M[node] = M[2 * node + 1];    
  22.     }    
  23. }    
  24.     
  25. //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
  26. int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
  27. {    
  28.     int p1, p2;    
  29.     
  30.     //查询区间和要求的区间没有交集    
  31.     if (i > e || j < b)    
  32.         return -1;    
  33.   
  34.     if (b >= i && e <= j)    
  35.         return M[node];    
  36.    
  37.     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
  38.     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
  39.     
  40.     //return the position where the overall    
  41.     //minimum is    
  42.     if (p1 == -1)    
  43.         return M[node] = p2;    
  44.     if (p2 == -1)    
  45.         return M[node] = p1;    
  46.     if (A[p1] <= A[p2])    
  47.         return M[node] = p1;    
  48.     return M[node] = p2;    
  49.     
  50. }    
  51.     
  52.     
  53. int main()    
  54. {    
  55.     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
  56.     memset(M,-1,sizeof(M));    
  57.     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
  58.     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
  59.     cout<sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<
  60.     return 0;    
  61. }    



模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include     
  2. #include     
  3. using namespace std;    
  4.      
  5. #define lson l , m , rt << 1    
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
  7. #define root 1 , N , 1   
  8. #define LL long long    
  9. const int maxn = 111111;    
  10. LL add[maxn<<2];    
  11. LL sum[maxn<<2];    
  12. void PushUp(int rt) {    
  13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
  14. }    
  15. void PushDown(int rt,int m) {    
  16.     if (add[rt]) {    
  17.         add[rt<<1] += add[rt];    
  18.         add[rt<<1|1] += add[rt];    
  19.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
  20.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
  21.         add[rt] = 0;    
  22.     }    
  23. }    
  24. void build(int l,int r,int rt) {    
  25.     add[rt] = 0;    
  26.     if (l == r) {    
  27.         scanf("%lld",&sum[rt]);    
  28.         return ;    
  29.     }    
  30.     int m = (l + r) >> 1;    
  31.     build(lson);    
  32.     build(rson);    
  33.     PushUp(rt);    
  34. }    
  35. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
  36.     if (L <= l && r <= R) {    
  37.         add[rt] += c;    
  38.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
  39.         return ;    
  40.     }    
  41.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  42.     int m = (l + r) >> 1;    
  43.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
  44.     if (m < R) update(L , R , c , rson);    
  45.     PushUp(rt);    
  46. }    
  47. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
  48.     if (L <= l && r <= R) {    
  49.         return sum[rt];    
  50.     }    
  51.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  52.     int m = (l + r) >> 1;    
  53.     LL ret = 0;    
  54.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
  55.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
  56.     return ret;    
  57. }    
  58. int main() {    
  59.     int N , Q;    
  60.     scanf("%d%d",&N,&Q);    
  61.     build(root);    
  62.     while (Q --) {    
  63.         char op[2];    
  64.         int a , b , c;    
  65.         scanf("%s",op);    
  66.         if (op[0] == 'Q') {    
  67.             scanf("%d%d",&a,&b);    
  68.             printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
  69.         } else {    
  70.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
  71.             update(a , b , c , root);    
  72.         }    
  73.     }    
  74.     return 0;    
  75. }    


模板3：

多维空间的动态查询



三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

  • maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
  • lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
  • 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
  • PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
  • PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
  • rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:


单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来


  • hdu1166 敌兵布阵
  • 题意:O(-1)
  • 思路:O(-1)
    线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include  
  2. #include  
  3.   
  4. #define M 50005  
  5. #define lson l,m,rt<<1  
  6. #define rson m+1,r,rt<<1|1  
  7. /*left,right,root,middle*/  
  8.   
  9. int sum[M<<2];  
  10.   
  11. inline void PushPlus(int rt)  
  12. {  
  13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  14. }  
  15.   
  16. void Build(int l, int r, int rt)  
  17. {  
  18.     if(l == r)  
  19.     {  
  20.         scanf("%d", &sum[rt]);  
  21.         return ;  
  22.     }  
  23.     int m = ( l + r )>>1;  
  24.   
  25.     Build(lson);  
  26.     Build(rson);  
  27.     PushPlus(rt);  
  28. }  
  29.   
  30. void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)  
  31. {  
  32.   
  33.     if( l == r )  
  34.     {  
  35.         sum[rt] += add;  
  36.         return ;  
  37.     }  
  38.     int m = ( l + r ) >> 1;  
  39.     if(p <= m)  
  40.         Updata(p, add, lson);  
  41.     else  
  42.         Updata(p, add, rson);  
  43.   
  44.     PushPlus(rt);  
  45. }  
  46.   
  47. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)  
  48. {  
  49.     if( L <= l && r <= R )  
  50.     {  
  51.         return sum[rt];  
  52.     }  
  53.     int m = ( l + r ) >> 1;  
  54.     int ans=0;  
  55.     if(L<=m )  
  56.         ans+=Query(L,R,lson);  
  57.     if(R>m)  
  58.         ans+=Query(L,R,rson);  
  59.   
  60.     return ans;  
  61. }  
  62. int main()  
  63. {     
  64.     int T, n, a, b;  
  65.     scanf("%d",&T);  
  66.     for( int i = 1; i <= T; ++i )  
  67.     {  
  68.         printf("Case %d:\n",i);  
  69.         scanf("%d",&n);  
  70.         Build(1,n,1);  
  71.   
  72.         char op[10];  
  73.   
  74.         while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )  
  75.         {  
  76.   
  77.             scanf("%d %d", &a, &b);  
  78.             if(op[0] == 'Q')  
  79.                 printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));  
  80.             else if(op[0] == 'S')  
  81.                 Updata(a,-b,1,n,1);  
  82.             else  
  83.                 Updata(a,b,1,n,1);  
  84.   
  85.         }  
  86.     }  
  87.     return 0;  
  88. }  

hdu1754 I Hate It
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. #include   
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 222222;  
  8. int MAX[maxn<<2];  
  9. void PushUP(int rt) {  
  10.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
  11. }  
  12. void build(int l,int r,int rt) {  
  13.     if (l == r) {  
  14.         scanf("%d",&MAX[rt]);  
  15.         return ;  
  16.     }  
  17.     int m = (l + r) >> 1;  
  18.     build(lson);  
  19.     build(rson);  
  20.     PushUP(rt);  
  21. }  
  22. void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {  
  23.     if (l == r) {  
  24.         MAX[rt] = sc;  
  25.         return ;  
  26.     }  
  27.     int m = (l + r) >> 1;  
  28.     if (p <= m) update(p , sc , lson);  
  29.     else update(p , sc , rson);  
  30.     PushUP(rt);  
  31. }  
  32. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  33.     if (L <= l && r <= R) {  
  34.         return MAX[rt];  
  35.     }  
  36.     int m = (l + r) >> 1;  
  37.     int ret = 0;  
  38.     if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));  
  39.     if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));  
  40.     return ret;  
  41. }  
  42. int main() {  
  43.     int n , m;  
  44.     while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {  
  45.         build(1 , n , 1);  
  46.         while (m --) {  
  47.             char op[2];  
  48.             int a , b;  
  49.             scanf("%s%d%d",op,&a,&b);  
  50.             if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));  
  51.             else update(a , b , 1 , n , 1);  
  52.         }  
  53.     }  
  54.     return 0;  
  55. }  

hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和
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  1. #include   
  2. #include   
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 5555;  
  8. int sum[maxn<<2];  
  9. void PushUP(int rt) {  
  10.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  11. }  
  12. void build(int l,int r,int rt) {  
  13.     sum[rt] = 0;  
  14.     if (l == r) return ;  
  15.     int m = (l + r) >> 1;  
  16.     build(lson);  
  17.     build(rson);  
  18. }  
  19. void update(int p,int l,int r,int rt) {  
  20.     if (l == r) {  
  21.         sum[rt] ++;  
  22.         return ;  
  23.     }  
  24.     int m = (l + r) >> 1;  
  25.     if (p <= m) update(p , lson);  
  26.     else update(p , rson);  
  27.     PushUP(rt);  
  28. }  
  29. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  30.     if (L <= l && r <= R) {  
  31.         return sum[rt];  
  32.     }  
  33.     int m = (l + r) >> 1;  
  34.     int ret = 0;  
  35.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
  36.     if (R > m) ret += query(L , R , rson);  
  37.     return ret;  
  38. }  
  39. int x[maxn];  
  40. int main() {  
  41.     int n;  
  42.     while (~scanf("%d",&n)) {  
  43.         build(0 , n - 1 , 1);  
  44.         int sum = 0;  
  45.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  46.             scanf("%d",&x[i]);  
  47.             sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);  
  48.             update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);  
  49.         }  
  50.         int ret = sum;  
  51.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  52.             sum += n - x[i] - x[i] - 1;  
  53.             ret = min(ret , sum);  
  54.         }  
  55.         printf("%d\n",ret);  
  56.     }  
  57.     return 0;  
  58. }  

hdu2795 Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)
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  1. #include   
  2. #include   
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 222222;  
  8. int h , w , n;  
  9. int MAX[maxn<<2];  
  10. void PushUP(int rt) {  
  11.     MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);  
  12. }  
  13. void build(int l,int r,int rt) {  
  14.     MAX[rt] = w;  
  15.     if (l == r) return ;  
  16.     int m = (l + r) >> 1;  
  17.     build(lson);  
  18.     build(rson);  
  19. }  
  20. int query(int x,int l,int r,int rt) {  
  21.     if (l == r) {  
  22.         MAX[rt] -= x;  
  23.         return l;  
  24.     }  
  25.     int m = (l + r) >> 1;  
  26.     int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);  
  27.     PushUP(rt);  
  28.     return ret;  
  29. }  
  30. int main() {  
  31.     while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {  
  32.         if (h > n) h = n;  
  33.         build(1 , h , 1);  
  34.         while (n --) {  
  35.             int x;  
  36.             scanf("%d",&x);  
  37.             if (MAX[1] < x) puts("-1");  
  38.             else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));  
  39.         }  
  40.     }  
  41.     return 0;  
  42. }  

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

hdu1698 Just a Hook
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)
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  1. #include   
  2. #include   
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. const int maxn = 111111;  
  8. int h , w , n;  
  9. int col[maxn<<2];  
  10. int sum[maxn<<2];  
  11. void PushUp(int rt) {  
  12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  13. }  
  14. void PushDown(int rt,int m) {  
  15.     if (col[rt]) {  
  16.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
  17.         sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];  
  18.         sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];  
  19.         col[rt] = 0;  
  20.     }  
  21. }  
  22. void build(int l,int r,int rt) {  
  23.     col[rt] = 0;  
  24.     sum[rt] = 1;  
  25.     if (l == r) return ;  
  26.     int m = (l + r) >> 1;  
  27.     build(lson);  
  28.     build(rson);  
  29.     PushUp(rt);  
  30. }  
  31. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  32.     if (L <= l && r <= R) {  
  33.         col[rt] = c;  
  34.         sum[rt] = c * (r - l + 1);  
  35.         return ;  
  36.     }  
  37.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  38.     int m = (l + r) >> 1;  
  39.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  40.     if (R > m) update(L , R , c , rson);  
  41.     PushUp(rt);  
  42. }  
  43. int main() {  
  44.     int T , n , m;  
  45.     scanf("%d",&T);  
  46.     for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {  
  47.         scanf("%d%d",&n,&m);  
  48.         build(1 , n , 1);  
  49.         while (m --) {  
  50.             int a , b , c;  
  51.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
  52.             update(a , b , c , 1 , n , 1);  
  53.         }  
  54.         printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);  
  55.     }  
  56.     return 0;  
  57. }  

poj3468 A Simple Problem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和
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  1. #include   
  2. #include   
  3. using namespace std;  
  4.    
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7. #define LL long long  
  8. const int maxn = 111111;  
  9. LL add[maxn<<2];  
  10. LL sum[maxn<<2];  
  11. void PushUp(int rt) {  
  12.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  13. }  
  14. void PushDown(int rt,int m) {  
  15.     if (add[rt]) {  
  16.         add[rt<<1] += add[rt];  
  17.         add[rt<<1|1] += add[rt];  
  18.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));  
  19.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);  
  20.         add[rt] = 0;  
  21.     }  
  22. }  
  23. void build(int l,int r,int rt) {  
  24.     add[rt] = 0;  
  25.     if (l == r) {  
  26.         scanf("%lld",&sum[rt]);  
  27.         return ;  
  28.     }  
  29.     int m = (l + r) >> 1;  
  30.     build(lson);  
  31.     build(rson);  
  32.     PushUp(rt);  
  33. }  
  34. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  35.     if (L <= l && r <= R) {  
  36.         add[rt] += c;  
  37.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);  
  38.         return ;  
  39.     }  
  40.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  41.     int m = (l + r) >> 1;  
  42.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  43.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  44.     PushUp(rt);  
  45. }  
  46. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  47.     if (L <= l && r <= R) {  
  48.         return sum[rt];  
  49.     }  
  50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  51.     int m = (l + r) >> 1;  
  52.     LL ret = 0;  
  53.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
  54.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);  
  55.     return ret;  
  56. }  
  57. int main() {  
  58.     int N , Q;  
  59.     scanf("%d%d",&N,&Q);  
  60.     build(1 , N , 1);  
  61.     while (Q --) {  
  62.         char op[2];  
  63.         int a , b , c;  
  64.         scanf("%s",op);  
  65.         if (op[0] == 'Q') {  
  66.             scanf("%d%d",&a,&b);  
  67.             printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));  
  68.         } else {  
  69.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
  70.             update(a , b , c , 1 , N , 1);  
  71.         }  
  72.     }  
  73.     return 0;  
  74. }  

poj2528 Mayor’s posters
题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]
如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.
线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

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  1. #include   
  2. #include   
  3. #include   
  4. using namespace std;  
  5. #define lson l , m , rt << 1  
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  7.    
  8. const int maxn = 11111;  
  9. bool hash[maxn];  
  10. int li[maxn] , ri[maxn];  
  11. int X[maxn*3];  
  12. int col[maxn<<4];  
  13. int cnt;  
  14.    
  15. void PushDown(int rt) {  
  16.     if (col[rt] != -1) {  
  17.         col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];  
  18.         col[rt] = -1;  
  19.     }  
  20. }  
  21. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  22.     if (L <= l && r <= R) {  
  23.         col[rt] = c;  
  24.         return ;  
  25.     }  
  26.     PushDown(rt);  
  27.     int m = (l + r) >> 1;  
  28.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  29.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  30. }  
  31. void query(int l,int r,int rt) {  
  32.     if (col[rt] != -1) {  
  33.         if (!hash[col[rt]]) cnt ++;  
  34.         hash[ col[rt] ] = true;  
  35.         return ;  
  36.     }  
  37.     if (l == r) return ;  
  38.     int m = (l + r) >> 1;  
  39.     query(lson);  
  40.     query(rson);  
  41. }  
  42. int Bin(int key,int n,int X[]) {  
  43.     int l = 0 , r = n - 1;  
  44.     while (l <= r) {  
  45.         int m = (l + r) >> 1;  
  46.         if (X[m] == key) return m;  
  47.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
  48.         else r = m - 1;  
  49.     }  
  50.     return -1;  
  51. }  
  52. int main() {  
  53.     int T , n;  
  54.     scanf("%d",&T);  
  55.     while (T --) {  
  56.         scanf("%d",&n);  
  57.         int nn = 0;  
  58.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  59.             scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);  
  60.             X[nn++] = li[i];  
  61.             X[nn++] = ri[i];  
  62.         }  
  63.         sort(X , X + nn);  
  64.         int m = 1;  
  65.         for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {  
  66.             if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];  
  67.         }  
  68.         for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {  
  69.             if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;  
  70.         }  
  71.         sort(X , X + m);  
  72.         memset(col , -1 , sizeof(col));  
  73.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  74.             int l = Bin(li[i] , m , X);  
  75.             int r = Bin(ri[i] , m , X);  
  76.             update(l , r , i , 0 , m , 1);  
  77.         }  
  78.         cnt = 0;  
  79.         memset(hash , false , sizeof(hash));  
  80.         query(0 , m , 1);  
  81.         printf("%d\n",cnt);  
  82.     }  
  83.     return 0;  
  84. }  

poj3225 Help with Intervals
题意:区间操作,交,并,补等
思路:
我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
U:把区间[l,r]覆盖成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
D:把区间[l,r]覆盖成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
S:[l,r]区间0/1互换

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作
很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了
所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空
而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)
线段树功能:update:成段替换,区间异或 query:简单hash

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. #include   
  3. #include   
  4. #include   
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 131072;  
  10. bool hash[maxn+1];  
  11. int cover[maxn<<2];  
  12. int XOR[maxn<<2];  
  13. void FXOR(int rt) {  
  14.     if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;  
  15.     else XOR[rt] ^= 1;  
  16. }  
  17. void PushDown(int rt) {  
  18.     if (cover[rt] != -1) {  
  19.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
  20.         XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;  
  21.         cover[rt] = -1;  
  22.     }  
  23.     if (XOR[rt]) {  
  24.         FXOR(rt<<1);  
  25.         FXOR(rt<<1|1);  
  26.         XOR[rt] = 0;  
  27.     }  
  28. }  
  29. void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {  
  30.     if (L <= l && r <= R) {  
  31.         if (op == 'U') {  
  32.             cover[rt] = 1;  
  33.             XOR[rt] = 0;  
  34.         } else if (op == 'D') {  
  35.             cover[rt] = 0;  
  36.             XOR[rt] = 0;  
  37.         } else if (op == 'C' || op == 'S') {  
  38.             FXOR(rt);  
  39.         }  
  40.         return ;  
  41.     }  
  42.     PushDown(rt);  
  43.     int m = (l + r) >> 1;  
  44.     if (L <= m) update(op , L , R , lson);  
  45.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
  46.         XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;  
  47.     }  
  48.     if (m < R) update(op , L , R , rson);  
  49.     else if (op == 'I' || op == 'C') {  
  50.         XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;  
  51.     }  
  52. }  
  53. void query(int l,int r,int rt) {  
  54.     if (cover[rt] == 1) {  
  55.         for (int it = l ; it <= r ; it ++) {  
  56.             hash[it] = true;  
  57.         }  
  58.         return ;  
  59.     } else if (cover[rt] == 0) return ;  
  60.     if (l == r) return ;  
  61.     PushDown(rt);  
  62.     int m = (l + r) >> 1;  
  63.     query(lson);  
  64.     query(rson);  
  65. }  
  66. int main() {  
  67.     cover[1] = XOR[1] = 0;  
  68.     char op , l , r;  
  69.     int a , b;  
  70.     while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {  
  71.         a <<= 1 , b <<= 1;  
  72.         if (l == '(') a ++;  
  73.         if (r == ')') b --;  
  74.         if (a > b) {  
  75.             if (op == 'C' || op == 'I') {  
  76.                 cover[1] = XOR[1] = 0;  
  77.             }  
  78.         } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);  
  79.     }  
  80.     query(0 , maxn , 1);  
  81.     bool flag = false;  
  82.     int s = -1 , e;  
  83.     for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {  
  84.         if (hash[i]) {  
  85.             if (s == -1) s = i;  
  86.             e = i;  
  87.         } else {  
  88.             if (s != -1) {  
  89.                 if (flag) printf(" ");  
  90.                 flag = true;  
  91.                 printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');  
  92.                 s = -1;  
  93.             }  
  94.         }  
  95.     }  
  96.     if (!flag) printf("empty set");  
  97.     puts("");  
  98.     return 0;  
  99. }  
练习
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并
poj3667 Hotel
题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边
2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点
[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. #include   
  3. #include   
  4. #include   
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 55555;  
  10. int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];  
  11. int cover[maxn<<2];  
  12.    
  13. void PushDown(int rt,int m) {  
  14.     if (cover[rt] != -1) {  
  15.         cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];  
  16.         msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);  
  17.         msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);  
  18.         cover[rt] = -1;  
  19.     }  
  20. }  
  21. void PushUp(int rt,int m) {  
  22.     lsum[rt] = lsum[rt<<1];  
  23.     rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];  
  24.     if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];  
  25.     if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];  
  26.     msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));  
  27. }  
  28. void build(int l,int r,int rt) {  
  29.     msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;  
  30.     cover[rt] = -1;  
  31.     if (l == r) return ;  
  32.     int m = (l + r) >> 1;  
  33.     build(lson);  
  34.     build(rson);  
  35. }  
  36. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  37.     if (L <= l && r <= R) {  
  38.         msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;  
  39.         cover[rt] = c;  
  40.         return ;  
  41.     }  
  42.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  43.     int m = (l + r) >> 1;  
  44.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  45.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  46.     PushUp(rt , r - l + 1);  
  47. }  
  48. int query(int w,int l,int r,int rt) {  
  49.     if (l == r) return l;  
  50.     PushDown(rt , r - l + 1);  
  51.     int m = (l + r) >> 1;  
  52.     if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);  
  53.     else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;  
  54.     return query(w , rson);  
  55. }  
  56. int main() {  
  57.     int n , m;  
  58.     scanf("%d%d",&n,&m);  
  59.     build(1 , n , 1);  
  60.     while (m --) {  
  61.         int op , a , b;  
  62.         scanf("%d",&op);  
  63.         if (op == 1) {  
  64.             scanf("%d",&a);  
  65.             if (msum[1] < a) puts("0");  
  66.             else {  
  67.                 int p = query(a , 1 , n , 1);  
  68.                 printf("%d\n",p);  
  69.                 update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);  
  70.             }  
  71.         } else {  
  72.             scanf("%d%d",&a,&b);  
  73.             update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);  
  74.         }  
  75.     }  
  76.     return 0;  
  77. }  

练习
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题

hdu1542 Atlantis
题意:矩形面积并
思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和
这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. #include   
  3. #include   
  4. #include   
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 2222;  
  10. int cnt[maxn << 2];  
  11. double sum[maxn << 2];  
  12. double X[maxn];  
  13. struct Seg {  
  14.     double h , l , r;  
  15.     int s;  
  16.     Seg(){}  
  17.     Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
  18.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
  19.         return h < cmp.h;  
  20.     }  
  21. }ss[maxn];  
  22. void PushUp(int rt,int l,int r) {  
  23.     if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];  
  24.     else if (l == r) sum[rt] = 0;  
  25.     else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
  26. }  
  27. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  28.     if (L <= l && r <= R) {  
  29.         cnt[rt] += c;  
  30.         PushUp(rt , l , r);  
  31.         return ;  
  32.     }  
  33.     int m = (l + r) >> 1;  
  34.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  35.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  36.     PushUp(rt , l , r);  
  37. }  
  38. int Bin(double key,int n,double X[]) {  
  39.     int l = 0 , r = n - 1;  
  40.     while (l <= r) {  
  41.         int m = (l + r) >> 1;  
  42.         if (X[m] == key) return m;  
  43.         if (X[m] < key) l = m + 1;  
  44.         else r = m - 1;  
  45.     }  
  46.     return -1;  
  47. }  
  48. int main() {  
  49.     int n , cas = 1;  
  50.     while (~scanf("%d",&n) && n) {  
  51.         int m = 0;  
  52.         while (n --) {  
  53.             double a , b , c , d;  
  54.             scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);  
  55.             X[m] = a;  
  56.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
  57.             X[m] = c;  
  58.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
  59.         }  
  60.         sort(X , X + m);  
  61.         sort(ss , ss + m);  
  62.         int k = 1;  
  63.         for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {  
  64.             if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];  
  65.         }  
  66.         memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));  
  67.         memset(sum , 0 , sizeof(sum));  
  68.         double ret = 0;  
  69.         for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {  
  70.             int l = Bin(ss[i].l , k , X);  
  71.             int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;  
  72.             if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);  
  73.             ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
  74.         }  
  75.         printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);  
  76.     }  
  77.     return 0;  
  78. }  
hdu1828 Picture
题意:矩形周长并
思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值
[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. #include   
  3. #include   
  4. #include   
  5. using namespace std;  
  6. #define lson l , m , rt << 1  
  7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
  8.    
  9. const int maxn = 22222;  
  10. struct Seg{  
  11.     int l , r , h , s;  
  12.     Seg() {}  
  13.     Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}  
  14.     bool operator < (const Seg &cmp) const {  
  15.         if (h == cmp.h) return s > cmp.s;  
  16.         return h < cmp.h;  
  17.     }  
  18. }ss[maxn];  
  19. bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];  
  20. int numseg[maxn<<2];  
  21. int cnt[maxn<<2];  
  22. int len[maxn<<2];  
  23. void PushUP(int rt,int l,int r) {  
  24.     if (cnt[rt]) {  
  25.         lbd[rt] = rbd[rt] = 1;  
  26.         len[rt] = r - l + 1;  
  27.         numseg[rt] = 2;  
  28.     } else if (l == r) {  
  29.         len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;  
  30.     } else {  
  31.         lbd[rt] = lbd[rt<<1];  
  32.         rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];  
  33.         len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];  
  34.         numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];  
  35.         if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合  
  36.     }  
  37. }  
  38. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
  39.     if (L <= l && r <= R) {  
  40.         cnt[rt] += c;  
  41.         PushUP(rt , l , r);  
  42.         return ;  
  43.     }  
  44.     int m = (l + r) >> 1;  
  45.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
  46.     if (m < R) update(L , R , c , rson);  
  47.     PushUP(rt , l , r);  
  48. }  
  49. int main() {  
  50.     int n;  
  51.     while (~scanf("%d",&n)) {  
  52.         int m = 0;  
  53.         int lbd = 10000, rbd = -10000;  
  54.         for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {  
  55.             int a , b , c , d;  
  56.             scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);  
  57.             lbd = min(lbd , a);  
  58.             rbd = max(rbd , c);  
  59.             ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);  
  60.             ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);  
  61.         }  
  62.         sort(ss , ss + m);  
  63.         int ret = 0 , last = 0;  
  64.         for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {  
  65.             if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);  
  66.             ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);  
  67.             ret += abs(len[1] - last);  
  68.             last = len[1];  
  69.         }  
  70.         printf("%d\n",ret);  
  71.     }  
  72.     return 0;  
  73. }  

练习
hdu3265 Posters
hdu3642 Get The Treasury
poj2482 Stars in Your Window
poj2464 Brownie Points II
hdu3255 Farming 
ural1707 Hypnotoad’s Secret
uva11983 Weird Advertisement

多颗线段树问题

此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间
hdu 4288 coder
题意：
维护一个有序数列{An}，有三种操作：
1、添加一个元素。
2、删除一个元素。
3、求数列中下标%5 = 3的值的和。
由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和
[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include  
  2. #include  
  3. #include  
  4. #include  
  5. using namespace std;  
  6. const int maxn=100002;  
  7.   
  8. #define lson l , m , rt << 1    
  9. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
  10.   
  11. __int64 sum[maxn<<2][6];  
  12. int cnt[maxn << 2];  
  13.   
  14. char op[maxn][20];  
  15. int a[maxn];  
  16.   
  17. int X[maxn];  
  18.   
  19. void PushUp(int rt)  
  20. {  
  21.     cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];  
  22.       
  23.     int offset = cnt[rt<<1];  
  24.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
  25.     {  
  26.         sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];  
  27.     }  
  28.     for(int i = 0; i < 5; ++i)  
  29.     {  
  30.         sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];  
  31.     }  
  32. }  
  33.   
  34. void Build(int l, int r, int rt)    
  35. {   /*此题Build完全可以用一个memset代替*/  
  36.     cnt[rt] = 0;  
  37.     for(int i = 0; i < 5; ++i)   sum[rt][i] = 0;  
  38.     if( l == r ) return;  
  39.     int m = ( l + r )>>1;      
  40.     Build(lson);    
  41.     Build(rson);     
  42. }   
  43.   
  44. void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)    
  45. {     
  46.     if( l == r )    
  47.     {    
  48.         cnt[rt] = op;   
  49.         sum[rt][1] = op * X[l-1];   
  50.         return ;    
  51.     }    
  52.     int m = ( l + r ) >> 1;    
  53.     if(p <= m)    
  54.         Updata(p, op, lson);    
  55.     else    
  56.         Updata(p, op, rson);    
  57.     
  58.     PushUp(rt);    
  59. }   
  60.   
  61. int main()  
  62. {  
  63.     int n;  
  64.     while(scanf("%d", &n) != EOF)  
  65.     {  
  66.         int nn = 0;  
  67.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
  68.         {  
  69.             scanf("%s", &op[i]);  
  70.               
  71.             if(op[i][0] != 's')  
  72.             {  
  73.                 scanf("%d", &a[i]);  
  74.                 if(op[i][0] == 'a')  
  75.                 {  
  76.                     X[nn++] = a[i];  
  77.                 }  
  78.             }  
  79.         }  
  80.           
  81.         sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/  
  82.         nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/  
  83.           
  84.         Build(1, nn, 1);  
  85.           
  86.         for(int i = 0; i < n; ++i)  
  87.         {  
  88.             int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */   
  89.             if(op[i][0] == 'a')  
  90.             {  
  91.                 Updata(pos, 1, 1, nn, 1);  
  92.             }  
  93.             else if(op[i][0] == 'd')  
  94.             {  
  95.                 Updata(pos, 0, 1, nn, 1);  
  96.             }  
  97.             else printf("%I64d\n",sum[1][3]);  
  98.         }  
  99.     }  
  100.     return 0;  
  101. }  

2： hdu 4267 A simple problem with integers
题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0  （r>=i>=l） 的数ai增加c, 最后单点查询。
这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。
[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include  
  2. #include  
  3. #include  
  4. #include  
  5. #include  
  6. #include  
  7. #include  
  8. #include  
  9. #include  
  10. #define eps 1e-7  
  11. #define LL long long  
  12. #define N 500005  
  13. #define zero(a) fabs(a)  
  14. #define lson step<<1  
  15. #define rson step<<1|1  
  16. #define MOD 1234567891  
  17. #define pb(a) push_back(a)  
  18. using namespace std;  
  19. struct Node{  
  20.     int left,right,add[55],sum;  
  21.     int mid(){return (left+right)/2;}  
  22. }L[4*N];  
  23. int a[N],n,b[11][11];  
  24. void Bulid(int step ,int l,int r){  
  25.     L[step].left=l;  
  26.     L[step].right=r;  
  27.     L[step].sum=0;  
  28.     memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));  
  29.     if(l==r) return ;  
  30.     Bulid(lson,l,L[step].mid());  
  31.     Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);  
  32. }  
  33. void push_down(int step){  
  34.     if(L[step].sum){  
  35.         L[lson].sum+=L[step].sum;  
  36.         L[rson].sum+=L[step].sum;  
  37.         L[step].sum=0;  
  38.         for(int i=0;i<55;i++){  
  39.                 L[lson].add[i]+=L[step].add[i];  
  40.                 L[rson].add[i]+=L[step].add[i];  
  41.                 L[step].add[i]=0;  
  42.         }  
  43.     }  
  44. }  
  45. void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){  
  46.     if(L[step].left==l&&L[step].right==r){  
  47.         L[step].sum+=num;  
  48.         L[step].add[b[i][j]]+=num;  
  49.         return;  
  50.     }  
  51.     push_down(step);  
  52.     if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);  
  53.     else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);  
  54.     else {  
  55.         update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);  
  56.         update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);  
  57.     }  
  58. }  
  59. int query(int step,int pos){  
  60.     if(L[step].left==L[step].right){  
  61.         int tmp=0;  
  62.         for(int i=1;i<=10;i++)  tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];  
  63.         return a[L[step].left]+tmp;  
  64.     }  
  65.     push_down(step);  
  66.     if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);  
  67.     else return query(rson,pos);  
  68. }  
  69. int main(){  
  70.     int cnt=0;  
  71.     for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j
  72.     while(scanf("%d",&n)!=EOF){  
  73.         for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);  
  74.         Bulid(1,1,n);  
  75.         int q,d;  
  76.         scanf("%d",&q);  
  77.         while(q--){  
  78.             int k,l,r,m;  
  79.             scanf("%d",&k);  
  80.             if(k==2){  
  81.                 scanf("%d",&m);  
  82.                 printf("%d\n",query(1,m));  
  83.             }  
  84.             else{  
  85.                 scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);  
  86.                 update(1,l,r,m,d,l%d);  
  87.             }  
  88.         }  
  89.     }  
  90.     return 0;  
  91. }  

线段树与其他结合练习(欢迎大家补充):

  • hdu3954 Level up
  • hdu4027 Can you answer these queries?
  • hdu3333 Turing Tree
  • hdu3874 Necklace
  • hdu3016 Man Down
  • hdu3340 Rain in ACStar
  • zju3511 Cake Robbery
  • UESTC1558 Charitable Exchange
  • CF85-D Sum of Medians
  • spojGSS2 Can you answer these queries II


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查看评论
26楼  消磨时间 2016-08-10 16:19发表 [回复]
请问，为什么要用四倍的空间。谢谢你。
25楼  bighero4 2016-06-26 21:26发表 [回复]
看明白了，那个build的例子，每个区间节点的value代表此区间(在数组array中是下标范围)上的的数组array的最小值。
24楼  bighero4 2016-06-26 21:15发表 [回复]
把所有错误纠正一下吧。比如说：线段树并非完全二叉树。
有些地方做一下解释，比如Build中的Value是什么意思？
23楼  Sci_M3 2016-06-08 11:42发表 [回复]
模板一是有错的，顺便这个错就是您自己跑的样例的问题...
22楼  zlqdhrdhrdhr 2015-11-29 09:27发表 [回复]
博主第3块代码有个小错误
那个left跟right应该是begin和end吧 ^_^
Re:  wyj__jenny 2016-02-04 11:39发表 [回复]
回复zlqdhrdhrdhr：同意
21楼  清风小竹 2015-11-03 16:12发表 [回复]
楼主的博客写的很好！赞一个
20楼  liangshanxiaohan 2015-10-28 21:01发表 [回复]
楼主你好，我想请问一下，你是否接触过range tree，能不能给一段range tree建树的代码
19楼  Lormons 2015-09-27 11:43发表 [回复]
不是完全二叉树吧...~~
18楼  LuckyqXd 2015-08-22 23:22发表 [回复]
线段树可以不为完全二叉树。。。。
17楼  bestcoder_judge 2015-08-21 15:44发表 [回复]
不错不错，线段树估计你没问题了！
16楼  Triangle_libing 2015-08-12 10:28发表 [回复]
这跟编译器有什么关系
15楼  Anger_Coder 2015-07-03 18:46发表 [回复]
有一个点需要注意，mid的求法，不要（begin＋end）／2这个会溢出，要begin + (end - begin) >> 1 这样比较好
Re:  glassMonster 2015-11-17 19:15发表 [回复]
回复Anger_Coder：不过需要注意一点，移位运算符的优先级低，在这里就比“+”低，最后的结果就是end>>1，会使程序运行出错，所以最好再加括号begin+((end-begin)>>1)
14楼  小飞哇咔咔 2015-04-01 12:01发表 [回复]
mark
13楼  ouweiqi 2015-03-30 11:13发表 [回复]
错误百出，还好意思贴出来
Re:  Echizens 2015-08-20 15:16发表 [回复]
回复ouweiqi：至少人家很谦虚。所以有意见提出来，不要BB。
12楼  楼上小宇 2015-01-27 23:43发表 [回复]
受教了。。。很详细
11楼  MetalSeed 2014-11-12 16:09发表 [回复]
228003430
10楼  累了泪了funny 2014-07-25 20:53发表 [回复]
为什么都不喜欢定义结构体呢，表示用数组模拟，看不懂，不要嘲笑我，我是菜鸟
Re:  MetalSeed 2014-11-07 09:46发表 [回复]
回复累了泪了funny：那个时候强迫症，数组写起来方便一些，速度稍微快一点
9楼  MetalSeed 2013-01-01 23:50发表 [回复]
http://blog.csdn.net/shiqi_614/article/details/8228102
8楼  GodHunter47 2012-12-31 15:16发表 [回复]
弱弱的屌丝一枚，不过勉为其难的给你顶一下
Re:  MetalSeed 2013-01-01 23:47发表 [回复]
回复GodHunter47：```` ~~ 呼呼 谢谢大神
7楼  Zr777111 2012-10-12 15:11发表 [回复]
高深。。。
6楼  wd339092886 2012-10-12 14:09发表 [回复]
不行不行，我还是倾向于编程。。
5楼  dyx心心 2012-10-12 11:32发表 [回复]
楼主是搞ACM的？
Re:  MetalSeed 2012-10-12 23:38发表 [回复]
回复dyx心心：ACM弱菜一枚.. 正在努力中..
Re:  dyx心心 2012-11-19 09:37发表 [回复]
回复MetalSeed：我感觉最后那道题，hdu4267那个sum就是个标记而已，不需要
L[step].sum+=num; 只要 L[step].sum=1，就行了吧
4楼  c_006 2012-10-11 11:31发表 [回复]
mark一下。楼主的编译软件是什么的？这么花花绿绿的vs2010？
Re:  mz31098 2015-08-22 03:10发表 [回复]
回复c_006：看着像sublime
Re:  hellosijian 2012-10-11 19:46发表 [回复]
回复c_006：应该是vim
Re:  hello_world_ww 2013-01-26 09:34发表 [回复]
回复hellosijian：GCC/G++
3楼  jiangkaii 2012-10-11 07:32发表 [回复]
进首页了！！
Re:  MetalSeed 2012-10-11 10:51发表 [回复]
回复jiangkaii：是蒋凯么。。。
Re:  jiangkaii 2012-10-12 01:51发表 [回复]
回复MetalSeed：是的，
2楼  pl___ 2012-10-09 16:16发表 [回复]
手动实现std::map ?
Re:  MetalSeed 2012-10-09 17:36发表 [回复]
回复pl___：非也。
map是用红黑树实现的，特点是插入时按照键值自动排序
1楼  Dstnoe 2012-10-08 23:22发表 [回复]
请问，线段树和B树在应用上有什么特别之处？
Re:  MetalSeed 2012-10-09 17:38发表 [回复]
回复Dstnoe：不好意思..B树只有耳闻...没详细研究过... 还得努力呢
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数据结构专题——线段树

标签： buildquery存储c
2012-10-04 14:18  61010人阅读  评论(40)  收藏  举报
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ACM回忆（46） 

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目录(?)[+]

线段树


转载请注明出处，谢谢！http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326 

持续更新中···


一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍


2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include   
  2. using namespace std;  
  3.   
  4. const int maxind = 256;  
  5. int segTree[maxind * 4 + 10];  
  6. int array[maxind];   
  7. /* 构造函数，得到线段树 */  
  8. void build(int node, int begin, int end)    
  9. {    
  10.     if (begin == end)    
  11.         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */  
  12.     else    
  13.     {     
  14.         /* 递归构造左右子树 */   
  15.         build(2*node, begin, (begin+end)/2);    
  16.         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);   
  17.            
  18.         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */    
  19.         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])    
  20.             segTree[node] = segTree[2 * node];    
  21.         else    
  22.             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];    
  23.     }    
  24. }  
  25.   
  26. int main()  
  27. {  
  28.     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;  
  29.     build(1, 0, 5);  
  30.     for(int i = 1; i<=20; ++i)  
  31.      cout<< "seg"<< i << "=" <
  32.     return 0;  
  33. }   
 此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. int query(int node, int begin, int end, int left, int right)    
  2. {   
  3.     int p1, p2;    
  4.     
  5.     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */  
  6.     if (left > end || right < begin)    
  7.         return -1;    
  8.     
  9.     /*  if the current interval is included in  */    
  10.     /*  the query interval return segTree[node]  */  
  11.     if (begin >= left && end <= right)    
  12.         return segTree[node];    
  13.     
  14.     /*  compute the minimum position in the  */  
  15.     /*  left and right part of the interval  */   
  16.     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);   
  17.     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);    
  18.     
  19.     /*  return the expect value  */   
  20.     if (p1 == -1)    
  21.         return p2;    
  22.     if (p2 == -1)    
  23.         return p1;    
  24.     if (p1 <= p2)    
  25.         return  p1;    
  26.     return  p2;      
  27. }   

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/    
  2. {    
  3.     
  4.     if( begin == end )    
  5.     {    
  6.         segTree[node] += add;    
  7.         return ;    
  8.     }    
  9.     int m = ( left + right ) >> 1;    
  10.     if(ind <= m)    
  11.         Updata(node * 2,left, m, ind, add);    
  12.     else    
  13.         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);    
  14.     /*回溯更新父节点*/    
  15.     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);     
  16.          
  17. }   

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/  
  2.    
  3. {  
  4.    
  5.   if (a <= p->Left && p->Right <= b)  
  6.    
  7.   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/  
  8.    
  9.   {  
  10.    
  11.      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/  
  12.    
  13.      return;  
  14.    
  15.   }  
  16.    
  17.   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/  
  18.    
  19.   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点 
  20.   
  21.   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/  
  22.    
  23.   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/  
  24.    
  25.   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/  
  26.    
  27. }  



3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）


二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include    
  2.   
  3. using namespace std;    
  4.     
  5. #define MAXN 100    
  6. #define MAXIND 256 //线段树节点个数    
  7.     
  8. //构建线段树,目的:得到M数组.    
  9. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])    
  10. {    
  11.     if (b == e)    
  12.         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标    
  13.     else    
  14.     {     
  15.         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);    
  16.         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);    
  17.   
  18.         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])    
  19.             M[node] = M[2 * node];    
  20.         else    
  21.             M[node] = M[2 * node + 1];    
  22.     }    
  23. }    
  24.     
  25. //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引    
  26. int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)    
  27. {    
  28.     int p1, p2;    
  29.     
  30.     //查询区间和要求的区间没有交集    
  31.     if (i > e || j < b)    
  32.         return -1;    
  33.   
  34.     if (b >= i && e <= j)    
  35.         return M[node];    
  36.    
  37.     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);    
  38.     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);    
  39.     
  40.     //return the position where the overall    
  41.     //minimum is    
  42.     if (p1 == -1)    
  43.         return M[node] = p2;    
  44.     if (p2 == -1)    
  45.         return M[node] = p1;    
  46.     if (A[p1] <= A[p2])    
  47.         return M[node] = p1;    
  48.     return M[node] = p2;    
  49.     
  50. }    
  51.     
  52.     
  53. int main()    
  54. {    
  55.     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.    
  56.     memset(M,-1,sizeof(M));    
  57.     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};    
  58.     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);    
  59.     cout<sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<
  60.     return 0;    
  61. }    



模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

[cpp]  view plain  copy
 print ?
  1. #include     
  2. #include     
  3. using namespace std;    
  4.      
  5. #define lson l , m , rt << 1    
  6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1   
  7. #define root 1 , N , 1   
  8. #define LL long long    
  9. const int maxn = 111111;    
  10. LL add[maxn<<2];    
  11. LL sum[maxn<<2];    
  12. void PushUp(int rt) {    
  13.     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];    
  14. }    
  15. void PushDown(int rt,int m) {    
  16.     if (add[rt]) {    
  17.         add[rt<<1] += add[rt];    
  18.         add[rt<<1|1] += add[rt];    
  19.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));    
  20.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);    
  21.         add[rt] = 0;    
  22.     }    
  23. }    
  24. void build(int l,int r,int rt) {    
  25.     add[rt] = 0;    
  26.     if (l == r) {    
  27.         scanf("%lld",&sum[rt]);    
  28.         return ;    
  29.     }    
  30.     int m = (l + r) >> 1;    
  31.     build(lson);    
  32.     build(rson);    
  33.     PushUp(rt);    
  34. }    
  35. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {    
  36.     if (L <= l && r <= R) {    
  37.         add[rt] += c;    
  38.         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);    
  39.         return ;    
  40.     }    
  41.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  42.     int m = (l + r) >> 1;    
  43.     if (L <= m) update(L , R , c , lson);    
  44.     if (m < R) update(L , R , c , rson);    
  45.     PushUp(rt);    
  46. }    
  47. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {    
  48.     if (L <= l && r <= R) {    
  49.         return sum[rt];    
  50.     }    
  51.     PushDown(rt , r - l + 1);    
  52.     int m = (l + r) >> 1;    
  53.     LL ret = 0;    
  54.     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);    
  55.     if (m < R) ret += query(L , R , rson);    
  56.     return ret;    
  57. }    
  58. int main() {    
  59.     int N , Q;    
  60.     scanf("%d%d",&N,&Q);    
  61.     build(root);    
  62.     while (Q --) {    
  63.         char op[2];    
  64.         int a , b , c;    
  65.         scanf("%s",op);    
  66.         if (op[0] == 'Q') {    
  67.             scanf("%d%d",&a,&b);    
  68.             printf("%lld\n",query(a , b ,root));    
  69.         } else {    
  70.             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);    
  71.             update(a , b , c , root);    
  72.         }    
  73.     }    
  74.     return 0;    
  75. }    


模板3：

多维空间的动态查询



三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

  • maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2x的两倍
  • lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
  • 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便
  • PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点
  • PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
  • rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:


单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来


  • hdu1166 敌兵布阵
  • 题意:O(-1)
  • 思路:O(-1)
    线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

[cpp]  view plain  copy
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    最近有一段时间没更新了，在准备CSP考试，请大家见谅。（1）有n个人围成一个圈，依次标号0到n-1。从0号开始，依次0，1，0，1...交替报数，报到一的人离开，直至圈中剩最后一个人。求最后剩下的人的编号。#includeusingnamespacestd;intf[1000010];intmain(){intn;cin>>n;inti=0,cnt=0,p=0;while(cnt#includeu
  • 《 C++ 修炼全景指南：九 》打破编程瓶颈！掌握二叉搜索树的高效实现与技巧 Lenyiin C++修炼全景指南技术指南c++算法stl
    摘要本文详细探讨了二叉搜索树（BinarySearchTree,BST）的核心概念和技术细节，包括插入、查找、删除、遍历等基本操作，并结合实际代码演示了如何实现这些功能。文章深入分析了二叉搜索树的性能优势及其时间复杂度，同时介绍了前驱、后继的查找方法等高级功能。通过自定义实现的二叉搜索树类，读者能够掌握其实际应用，此外，文章还建议进一步扩展为平衡树（如AVL树、红黑树）以优化极端情况下的性能退化。
  • 20个新手学习c++必会的程序 输出*三角形、杨辉三角等（附代码） X_StarX c++学习算法大学生开发语言数据结构
    示例1:HelloWorld#includeusingnamespacestd;intmain(){coutusingnamespacestd;intmain(){inta=5;intb=10;intsum=a+b;coutusingnamespacestd;intfactorial(intn){if(nusingnamespacestd;voidprintFibonacci(intn){intt
  • C++八股 Petrichorzncu 八股总结c++开发语言
    这里写目录标题C++内存管理C++的构造函数，复制构造函数，和析构函数深复制与浅复制：构造函数和析构函数哪个能写成虚函数，为什么？C++数据结构内存排列结构体和类占用的内存：==虚函数和虚表的原理==虚函数虚表（Vtable）虚函数和虚表的实现细节==内存泄漏==指针的工作原理函数的传值和传址new和delete与malloc和freeC++内存区域划分C++11新特性C++常见新特性==智能指针
  • 【2022 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮（CSP-J1）入门级 C++语言试题及解析】 汉子萌萌哒 CCFnoi算法数据结构c++
    一、单项选择题(共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项)1.以下哪种功能没有涉及C++语言的面向对象特性支持：()。A.C++中调用printf函数B.C++中调用用户定义的类成员函数C.C++中构造一个class或structD.C++中构造来源于同一基类的多个派生类题目解析【解析】正确答案:AC++基础知识，面向对象和类有关，类又涉及父类、子类、继承、派生等关系，printf
  • 《 C++ 修炼全景指南：十 》自平衡的艺术：深入了解 AVL 树的核心原理与实现 Lenyiin C++修炼全景指南技术指南c++数据结构stl
    摘要本文深入探讨了AVL树（自平衡二叉搜索树）的概念、特点以及实现细节。我们首先介绍了AVL树的基本原理，并详细分析了其四种旋转操作，包括左旋、右旋、左右双旋和右左双旋，阐述了它们在保持树平衡中的重要作用。接着，本文从头到尾详细描述了AVL树的插入、删除和查找操作，配合完整的代码实现和详尽的注释，使读者能够全面理解这些操作的执行过程。此外，我们还提供了AVL树的遍历方法，包括中序、前序和后序遍历，
  • JAVA学习笔记之23种设计模式学习 victorfreedom Java技术设计模式androidjava常用设计模式
    博主最近买了《设计模式》这本书来学习，无奈这本书是以C++语言为基础进行说明，整个学习流程下来效率不是很高，虽然有的设计模式通俗易懂，但感觉还是没有充分的掌握了所有的设计模式。于是博主百度了一番，发现有大神写过了这方面的问题，于是博主迅速拿来学习。一、设计模式的分类总体来说设计模式分为三大类：创建型模式，共五种：工厂方法模式、抽象工厂模式、单例模式、建造者模式、原型模式。结构型模式，共七种：适配器
  • c++ opencv4.3 sift匹配 图像处理大大大大大牛啊 图像处理opencv实战代码讲解opencvsiftc++opencv4特征点
    c++opencv4.3sift匹配main.cppintmain(){vectorkeypoints1,keypoints2;Matimg1,img2,descriptors1,descriptors2;intnumF
  • 《 C++ 修炼全景指南：四 》揭秘 C++ List 容器背后的实现原理，带你构建自己的双向链表 Lenyiin 技术指南C++修炼全景指南c++list链表stl
    本篇博客，我们将详细讲解如何从头实现一个功能齐全且强大的C++List容器，并深入到各个细节。这篇博客将包括每一步的代码实现、解释以及扩展功能的探讨，目标是让初学者也能轻松理解。一、简介1.1、背景介绍在C++中，std::list是一个基于双向链表的容器，允许高效的插入和删除操作，适用于频繁插入和删除操作的场景。与动态数组不同，list允许常数时间内的插入和删除操作，支持双向遍历。这篇文章将详细
  • c++ 内存处理函数 heeheeai c++开发语言
    在C语言的头文件中，memcpy和memmove函数都用于复制内存块，但它们在处理内存重叠方面存在关键区别：内存重叠:memcpy函数不保证在源内存和目标内存区域重叠时能够正确复制数据。如果内存区域重叠，memcpy的行为是未定义的，可能会导致数据损坏或程序崩溃。memmove函数能够安全地处理源内存和目标内存区域重叠的情况。它会确保在复制过程中不会覆盖尚未复制的数据，从而保证数据的完整性。效率:
  • 【c++基础概念深度理解——堆和栈的区别，并实现堆溢出和栈溢出】 XWWW668899 C++基本概念c++c语言开发语言青少年编程
    文章目录概要技术名词解释栈溢出和堆溢出小结概要学习C++语言，避免不了要好好理解一下堆（Heap）和栈（Stack），有助于更好地管理内存，以及如何写出一段程序“成功实现”堆溢出和栈溢出。技术名词解释理解东西最快的方式是根据自己目前能理解的词语去关联新的概念，不断的纠正，向正确的深度理解靠近，当无限接近的时候也就理解了想要理解的概念。我们经常说堆栈，把这两个名词放到一起。其实，堆是堆，栈是栈，两种
  • C++常见知识掌握 nfgo c++开发语言
    1.Linux软件开发、调试与维护内核与系统结构Linux内核是操作系统的核心，负责管理硬件资源，提供系统服务，它是系统软件与硬件之间的桥梁。主要组成部分包括：进程管理：内核通过调度器分配CPU时间给各个进程，实现进程的创建、调度、终止等操作。使用进程描述符（task_struct）来存储进程信息，包括状态（就绪、运行、阻塞等）、优先级、内存映射等。内存管理：包括物理内存和虚拟内存管理。通过页表映
  • metaRTC5.0 API编程指南(一) metaRTC metaRTCc++c语言webrtc
    概述metaRTC5.0版本API进行了重构，本篇文章将介绍webrtc传输调用流程和例子。metaRTC5.0版本提供了C++和纯C两种接口。纯C接口YangPeerConnection头文件:include/yangrtc/YangPeerConnection.htypedefstruct{void*conn;YangAVInfo*avinfo;YangStreamConfigstreamco
  • sublime个人设置 bawangtianzun sublimetext编辑器
    如何拥有jiangly蒋老师同款编译器(sublimec++配置竞赛向）_哔哩哔哩_bilibiliSublimeText4的安装教程（新手竞赛向）-知乎(zhihu.com)创建文件自动保存为c++打开SublimeText软件。转到"Tools"（工具）>"Developer"（开发者）>"NewPlugin"（新建插件）。在打开的新文件中，粘贴以下代码：importsublimeimport
  • Rust是否会取代C/C++？Rust与C/C++的较量 AI与编程之窗 源码编译与开发rustc语言c++内存安全并发编程代码安全性能优化
    目录引言第一部分：Rust语言的优势内存安全性并发性性能社区和生态系统的成长第二部分：C/C++语言的优势和地位历史积淀和成熟度广泛的库和工具支持性能优化和硬件控制丰富的行业应用社区和行业支持第三部分：挑战和阻碍学习曲线现有代码库的迁移成本生态系统和工具链的完善度社区和人才培养行业应用和推广法规和标准化第四部分：未来趋势和可能性行业趋势教育和人才培养兼容和共存行业标准化企业支持和应用开源社区和生态
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    python可以写游戏，但不适合。下面我们来分析一下具体原因。用锤子能造汽车吗？谁也没法说不能吧？历史上也确实曾经有些汽车，是用锤子造出来的。但一般来说，还是用工业机器人更合适对吗？比较大型的，使用Python的游戏有两个，一个是《EVE》，还有一个是《文明》。但这仅仅是个例，没有广泛意义。一般来说，用来做游戏的语言，有两种。一是C++。。一是C#。。Python理论上，不仅不适合做游戏，而是只要
  • Python开发游戏？也太好用了吧 七步编程 工具Githubpythonpython游戏开发语言
    程序员宝藏库：https://gitee.com/sharetech_lee/CS-Books-Store当然可以啦！现在日常能够用到和想到的场景，绝大多数都可以用Python实现。效果怎么样暂且不提，但是得益于丰富的第三方工具包，的确让Python能够很容易处理各种各样的场景。对于游戏开发也是这样，如果真的要想商业化，Python在游戏开发方面肯定没办法和C++相提并论，但是如果用于日常学习和自
  • Go编程语言前景怎么样？参加培训好就业吗 QFdongdong
    Go语言专门针对多处理器系统应用程序的编程进行了优化，使用Go编译的程序可以媲美C或C++代码的速度，而且更加安全、支持并行进程。不仅可以开发web,可以开发底层，目前知乎就是用golang开发。区块链首选语言就是go,以-太坊，超级账本都是基于go语言，还有go语言版本的btcd.Go的目标是希望提升现有编程语言对程序库等依赖性(dependency)的管理，这些软件元素会被应用程序反复调用。由
  • OpenCV图像处理技术（Python）——入门 森屿_ opencv
    ©FuXianjun.AllRightsReserved.OpenCV入门图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、表达信息的重要手段，OpenCV作为一个开源的计算机视觉库，它包括几百个易用的图像成像和视觉函数，既可以用于学术研究，也可用于工业邻域，它于1999年由因特尔的GaryBradski启动，OpenCV库主要由C和C++语言编写，它可以在多个操作系统上运行。1.1图像处理基本操作
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    gcc编译器可以将C、C++等语言源程序、汇编程序编译、链接成可执行程序。gdb是GNU开发的一个Unix/Linux下强大的程序调试工具。linux下没有后缀名的概念。但gcc根据文件的后缀来区别输入文件的类别：.cC语言源代码文件.a由目标文件构成的库文件.C、.cc、.cppC++源码文件.h头文件.i经过预处理之后的C语言文件.ii经过预处理之后的C++文件.o编译后的目标文件.s汇编源码
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    熟悉了nginx后再来看openresty，不得不说openresty是比较优秀的。对nginx和openresty的历史等在这此就不介绍了。首先对标nginx，自然有优劣一、开发难度nginx：毫无疑问nginx的开发难度比较高，需要扎实的c/c++基础，而且还需要对nginx源码比较熟悉，开发效率慢，比如实现一个类似echo的功能，至少要上百行代码。而openresty只需要一句ngx.say
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    Java泛型的概述不同类的数据如果封装方法相同，不必为每一种类单独定义一个类，只需定义一个泛型类，减少类的声明，提高编程效率。通过准确定义泛型类，可避免对象类型转换时产生的错误。泛型又提供了一种类型安全检测机制，只有数据类型相匹配的变量才能正常的赋值，否则编译器就不通过。Java中的泛型与C++类模板的作用相同，但是编译方式不同，Java泛型类只会生成一部分目标代码，牺牲运行速度，而C++的类模板
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    10. 虽然IT业的薪酬比其他很多行业要好，但有公司因此视你为其“佣人”。 　　尽管IT人士的薪水没有互联网泡沫之前要好，但和其他行业人士比较，IT人的薪资还算好点。在接下的几十年中，科技在商业和社会发展中所占分量会一直增加，所以我们完全有理由相信，IT专业人才的需求量也不会减少。 　　然而，正因为IT人士的薪水普遍较高，所以有些公司认为给了你这么多钱，就把你看成是公司的“佣人”，拥有你的支配
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    今天试用了一下CodeIgniter的Cart类时遇到了个小问题，发现当name的值为中文时，就写入不了session。在这里特别提醒一下。 在CI手册里也有说明，如下： $data = array( 'id' => 'sku_123ABC', 'qty' => 1, '
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    今天一不小心在ubuntu下把一个文件移动到了回收站，我并不想删，手误了。我急忙到Nautilus下的回收站中准备恢复它，但是里面居然什么都没有。     后来我发现这是由于我删文件的地方不在HOME所在的分区，而是在另一个独立的Linux分区下，这是我专门用于开发的分区。而我删除的东东在分区根目录下的.Trash-1000/file目录下，相关的删除信息（删除时间和文件所在
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    泛型 在Java SE 1.5之前，没有泛型的情况的下，通过对类型Object的引用来实现参数的“任意化”，任意化的缺点就是要实行强制转换，这种强制转换可能会带来不安全的隐患   泛型的特点：消除强制转换 确保类型安全 向后兼容   简单泛型的定义：      泛型：就是在类中将其模糊化，在创建对象的时候再具体定义 class fan
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  • 探索JUnit4扩展：假设机制（Assumption） bijian1013 javaAssumptionJUnit单元测试
    一.假设机制（Assumption）概述        理想情况下，写测试用例的开发人员可以明确的知道所有导致他们所写的测试用例不通过的地方，但是有的时候，这些导致测试用例不通过的地方并不是很容易的被发现，可能隐藏得很深，从而导致开发人员在写测试用例时很难预测到这些因素，而且往往这些因素并不是开发人员当初设计测试用例时真正目的，
  • 【Gson四】范型POJO的反序列化 bit1129 POJO
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  • java-递归判断数组是否升序 bylijinnan java
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  • Netty源码学习-DefaultChannelPipeline2 bylijinnan javanetty
    Netty3的API http://docs.jboss.org/netty/3.2/api/org/jboss/netty/channel/ChannelPipeline.html 里面提到ChannelPipeline的一个“pitfall”： 如果ChannelPipeline只有一个handler（假设为handlerA）且希望用另一handler（假设为handlerB） 来
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  • window.print分页打印 ctrain window
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  • 安装hadoop时 执行jps命令Error occurred during initialization of VM daizj jdkhadoopjps
    在安装hadoop时，执行JPS出现下面错误   [slave16][email protected]:/tmp/hsperfdata_hdfs# jps Error occurred during initialization of VM java.lang.Error: Properties init: Could not determine current working
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    一、变量 最好是把所有的变量存储在一个数组中，这样在程序的开发中可以带来很多的方便，特别是当程序很大的时候。变量的命名就当适合自己的习惯，不管是用拼音还是英语，至少应当有一定的意义，以便适合记忆。变量的命名尽量规范化，不要与PHP中的关键字相冲突。 二、函数 PHP自带了很多函数，这给我们程序的编写带来了很多的方便。当然，在大型程序中我们往往自己要定义许多个函数，几十
  • android笔记之--向网络发送GET/POST请求参数 dcj3sjt126com android
    使用GET方法发送请求 private static boolean sendGETRequest (String path, Map<String, String> params) throws Exception{ //发送地http://192.168.100.91:8080/videoServi
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    转载请出自出处： http://eksliang.iteye.com/blog/2104387 在bash的操作环境中有一个非常有用的功能，那就是通配符。 下面列出一些常用的通配符，如下表所示 符号 意义 * 万用字符，代表0个到无穷个任意字符 ? 万用字符，代表一定有一个任意字符 [] 代表一定有一个在中括号内的字符。例如：[abcd]代表一定有一个字符，可能是a、b、c
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    关于Android短信加密功能，我初步了解的如下（只在Android应用层试验）：     1、因为Android有短信收发接口，可以调用接口完成短信收发；         发送过程：APP（基于短信应用修改）接受用户输入号码、内容——>APP对短信内容加密——>调用短信发送方法Sm
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    假设要在asp.net网站的根目录下建立文件夹hovertree,C#代码如下： string m_keleyiFolderName = Server.MapPath("/hovertree"); if (Directory.Exists(m_keleyiFolderName)) { //文件夹已经存在 return; } else { try { D
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    编者按：2008年8月4日，StackOverflow 网友 Bert F 发帖提问：哪本最具影响力的书，是每个程序员都应该读的？ “如果能时光倒流，回到过去，作为一个开发人员，你可以告诉自己在职业生涯初期应该读一本， 你会选择哪本书呢？我希望这个书单列表内容丰富，可以涵盖很多东西。” 很多程序员响应，他们在推荐时也写下自己的评语。 以前就有国内网友介绍这个程序员书单，不过都是推荐数
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  • PO VO BEAN 理解 q137681467 VODTOpo
    PO：      全称是 persistant object持久对象 最形象的理解就是一个PO就是数据库中的一条记录。 好处是可以把一条记录作为一个对象处理，可以方便的转为其它对象。     BO：     全称是 business object:业务对象 主要作用是把业务逻辑封装为一个对象。这个对
  • 战胜惰性，暗自努力 金笛子 努力
    偶然看到一句很贴近生活的话：“别人都在你看不到的地方暗自努力，在你看得到的地方，他们也和你一样显得吊儿郎当，和你一样会抱怨，而只有你自己相信这些都是真的，最后也只有你一人继续不思进取。”很多句子总在不经意中就会戳中一部分人的软肋，我想我们每个人的周围总是有那么些表现得“吊儿郎当”的存在，是否你就真的相信他们如此不思进取，而开始放松了对自己的要求随波逐流呢？ 我有个朋友是搞技术的，平时嘻嘻哈哈，以
  • NDK/JNI二维数组多维数组传递 wenzongliang 二维数组jniNDK
    多维数组和对象数组一样处理，例如二维数组里的每个元素还是一个数组 用jArray表示，直到数组变为一维的，且里面元素为基本类型，去获得一维数组指针。给大家提供个例子。已经测试通过。 Java_cn_wzl_FiveChessView_checkWin( JNIEnv* env,jobject thiz,jobjectArray qizidata) { jint i,j; int s
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他