2 计算机组成原理第二章 数据的表示和运算 定点数运算 浮点数运算

1 进制转换

任意进制→十进制

已知K、r、n
按权展开相加法

十进制→任意进制

除基取余法：

乘基取整法：

进制之间的转换

分组转换：
2ⁿ进制之间的转换：二进制、四进制、八进制、十六进制

二进制一>四进制、八进制、十六进制n位一组，每组转换成对应进制的符号，位数不够补左边最高位0和右边最低位0

四进制、八进制、十六进制一>二进制
每位写成对应的二进制形式

BCD码
用途：可以实现二进制，十进制的快速转换（一一对应）

8421码，4位一组的二进制表示十进制对应的符号

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

遇到8421码某组上的计算产生超过1001时，需进行加6（0110）进行结果修正

2 定点数表示及其运算

小数点位置约定在固定位置的数称为定点数
小数点位置约定为可浮动的数称为浮点数

2.1 定点数表示

定点数可分为无符号数和有符号数

• 无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
• 无符号数表示范围：n位的无符号数表示范围为：0~2ⁿ-1

有符号数对应真值和机器数

真值和机器数

2.1.1 真值→补码

• 正数：[X]_原=[X]_反=[X]_补 正数原反补一样
• 负数：

求补码：原符号位不变，数值部分按位取反，末尾+1
求反码：符号位不变，数值位按位取反

2.1.2 补码→真值

按位取反+1

[X_T]_补 =1 0110100
[X_T]= -（1001011+1）= -1001100

2.1.3 [X_T]_补 →[-X_T]_补

连同符号位各位取反，末尾+1

[X_T]_补=1 0110100
[-X_T]_补= 0 1001100

2.1.4 真值、原码、反码、补码转换关系图形总结

2.2.4 移码

浮点数阶码用移码表示，移码只用来表示定点整数
设E为阶码，阶码的移码表示位n位，[E]_移=2^n-1+E（2^n-1为偏置常数）

2.2 定点数运算

2.2.1 移位运算

r进制

右移n位：÷ rⁿ
左移n位： × rⁿ

• 机器数采用无符号数：逻辑移位
  逻辑左移时，高位移丢，低位添0；逻辑右移时，低位移丢，高位添0

• 机器码采用有符号数：算术移位
  算术移位：左移相当于乘以基数，右移相当于除以基数
  符号位不参与移位
  

1，0110101                     真值-53
左移1位（丢0）：1，110101 0     真值-106
右移1位（丢1）：1，0 011010     真值-26    假设不丢1：1，0011010.1  真值-26.5
再左移1位（丢1）：1，1010100    真值-84    假设不丢1：1，111010100  真值-212
再右移1位（丢0）：1，0001101    真值-13

结论：原码算术移位：左移丢1，运算出错；右移丢1，影响精度。

正数：原码、补码、反码一样→左移、右移都补0
负数：反码1<——>原码0

2.2.2 定点数加减运算

补码的主要作用：两个有符号数可以直接相加

加减运算基本思路：

1. 转换成x+y的形式
2. 计算[x]_补+[y]_补

例题：设机器字长为8位（含1位符号位），A=15，B=-24，求[A+B]_补和[A-B]_补

走捷径：十进制运输完毕将结果转换为补码

也可以先转化为补码，再将补码进行符号扩展

[A+B]_补=[A]_补+[B]_补=0，0001111+1，1101000=1，1110111

补码1，1110111，对应原码：1，0001001 真值就是-9，15+（-24）=-9

[A-B]_补=[4]_补+[-B]_补=0，0001111+0，0011000=0，0100111

补码0，0100111对应真值+39,15-（-24）=+39

[-B]_补：[B]_补连同符号位一起取反加1

2.2.3 溢出判断

正溢出：两个正数做加法得负数
负溢出：两个负数做加法得正数

例：A=15，B=-34，C=124，求[A+C]_补和[B-C]_补

[A+C]_补=0 0001111+0 1111100=1 10001011 真值-11→正溢出
[B-C]_补=1 101000+0 000100=10 1101100 真值+108→负溢出

判溢出方法一

采用一位符号位设A的符号为As，B的符号为Bs，运算结果的符号为Ss，则溢出逻辑表达式为

V表示含义：[As为1且Bs为1且Ss为0] 或 [As为0且Bs为0且Ss为1]

若V=0，表示无溢出；
若V=1，表示有溢出。

补充逻辑表达式：

1. 与：如ABC，表示A与B与C仅当A、B、C均为1时，ABC为1
   A、B、C中有一个或多个为0，则ABC为0
2. 或：如A+B+C，表示A或B或C仅当A、B、C均为0时，A+B+C为0
   A、B、C中有一个或多个为1，则A+B+C为1

判溢出方法二

采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出

	符号位的进位Cs	最高数位的进位C1
正溢出	0	1
负溢出	1	0

即：Cs与C1不同时有溢出

处理“不同”的逻辑符号：异或

溢出逻辑判断表达式为：

若V=0，表示无溢出；
V=1，表示有溢出。

补充异或：

判溢出方法三

采用双符号位，配合补码
正数符号为00，负数符号为11

[A+C]_补=00，0001111+00，1111100=01，0001011→正溢出
[B-C]_补=11，1101000+11，0000100=10，1101100→负溢出

记两个符号位为S_s1S_s2，则

若V=0，表示无溢出；
若V=1，表示有溢出。

利用双符号位计算[A+B]_补和[A-B]_补

[A+B]_补=00，0001111+11，1101000=11，1110111
[A-B]_补=00，0001111+00，0011000=00，0100111

采用双符号位的移位运算：低位符号位参与移位，高位符号位代表真正的符号

11，1110111  右移1位： 11，1111011  //低位符号位参与右移，对于负数补码，符号位空出的部分补1
00，0100111  左移1位： 00，1001110  //左移一位，数值位最高位0移到符号位低位，数值位低位空出的部分则补0
00，0100111  左移2位： 01，0011100    正溢出

3 浮点数及其运算

3.1 浮点数表示

任意一个二进制数X可以表示为： X=（-1）^S× M × R^E

S取值为0或1，用来决定X的符号
M是一个二进制定点小数，称为数X的尾数
E是一个二进制定点整数，称为X的阶码或指数
R是基数，可以取值为 2、4、16

阶码：常用补码或移码表示
尾数：常用原码或补码表示
阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。

例：阶码、尾数均用补码表示，求b的真值

如果尾数部分只存储1001，怎么处理？----→规格化

3.2 浮点数规格化

规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值。对于二进制来说最高位数1有效，对于其他进制，不是0则有效

左规：当浮点数运算的结果为 非规格化时 要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）。
右规：当浮点数运算的结果尾数出现 溢出（双符号位为01或10） 时，将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）。

例：a=010；00.1001，b=010；00.1000，求a+b

a=2² × 00.1001； b=2² × 00.1000

a+b=2² × 00.1001+2² × 00.1000
=2² ×（00.1001+00.1000）
=2² × 01.0100 →尾数溢出，右规
=2³ × 00.1010

3.3 规格化浮点数的特点

规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：1/r<|M|<1
如果r=2，则有1/2

1. 原码规格化后：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2^-n）。
• 负数为1.1××.…×的形式，其最大值表示为1.10…0；最小值表示为1.11…1。
  尾数的表示范围为 -（1-2^-n）≤M≤ -1/2。

2. 补码规格化后：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2^-n）。
• 负数为1.0××.…×的形式，其最大值表示为1.01…1；最小值表示为1.00…0。
  尾数的表示范围为 -1≤M≤ -（1/2+2^-n）。
  

3.4 IEEE754 标准

尾数规格化，最高位肯定为1，若尾数原码xx...x，则尾数是1.xx...x

阶码部分用移码表示的，由移码得真值要减去偏置值

短浮点数：

长浮点数：

IEEE754 标准下短浮点数和长浮点数的真值：

IEEE 754 标准一些规定（短浮点数为例）：

1. E=0且M=0，则真值为0
2. E=0且M≠0，为非规格化数，真值 =（-1）^s×0.M×2^-126
3. 1≤E≤254时，真值 =（-1)^s×1.M×2^E-127
4. E=255且M≠0时（阶码全1，尾数不为0），真值为NaN（非数值）
5. E=255且M=0时，真值为正无穷或负无穷（看符号位）

IEEE 754浮点数表示范围

3.5 浮点数加减

浮点数加减运算步骤：

1. 对阶

一般在对阶之前就有必须要把真值转化为机器数的步骤（即用补码表示阶码和尾数）

2. 尾数加减
3. 规格化
4. 舍入
5. 判溢出

3.5.1 浮点数的加减运算实例

例：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位

0. 先进行格式转换：用补码表示阶码和尾数
   

• 将X的阶码转化为机器数：-101 补码：1 011，再变为双符号位（阶符取两位）： 11 011（11 代表负，00代表正），数值部分（阶码）3位不需要扩展
• 将X的尾数转化为机器数：-0.101 补码：1.011 ，再变为双符号位（数符取两位）：11.011，尾数取9位则扩展到9位：11.011000000（小数低位添0，整数高位添0）

转化完毕X，Y机器数表示：X:11 011,11.011000000 ；Y:11 100,00.111011000
转化完接下来就是对阶

1. 对阶
   对阶目的：使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1

①求阶差：[△E]_补=[X阶]_补+[-Y阶]_补=11011+00100=11111，知△E=-1（被减的数转化为相反数的补码形式，即[Y]_补→[-Y]_补→连同符号位按位取反，末尾+1）
②对阶X 向Y看齐：X：11011，11.011000000→11100，11.101100000（X尾数右移1位，阶码+1）

尾数左移/右移：双符号位也要参与移位

接下来进行尾数加减，原理就是提取公因式

2. 尾数加减
   求 X-Y，先求-Y补码：阶码部分不变，尾数调整为相反数补码，即连同符号位按位取反，末尾+1
   [-Y]_补:11100,11.000101000
   
   X-Y=11100,10.110001000
   机器数操作不理解，可以把真值操作写在旁边对比：
   

算出的结果符号位10，溢出了，需要右规

3. 规格化
   X-Y：11100,10.110001000→11101,11.011000100
   对应真值运算：
   

• 规格化之后，观察阶码阶符是否还保持正常情况（00或11），则此次运算不溢出，若规格化后，双符号位表现出溢出模式（10或 01），此次运算一定溢出！
• 在加减处溢出不一定是溢出，只有在规格化以后还是溢出，才是真正溢出！

4. 舍入
   这里无舍入，因为尾数右移时候，末尾丢的是一个0，不影响整个数值运算

5. 判溢出
   此处正常阶码11，无溢出

所以结果真值为2^-3×（-0.1001111）₂

3.5.2 舍入

1. “0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
2. 恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

例：两浮点数加减后结果为11100，10.110001011。此时肯定需要右规

采用0舍1入：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1（末尾1丢弃，需要+1）
→11101，11.011000110 （末尾+1后进位）

恒置1：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1
→11101，11.011000101 1

3.6 浮点数强制类型转换

类型	16位机器	32位机器	64位机器
char	8	8	8
short	16	16	16
int	16	32	32
long	32	32	64
long long	64	64	64
float	16	32	32
double	64	64	64

char →int→long →double
float →double
范围、精度从小到大，转换过程没有损失

32位
int：表示整数，范围-2³¹-2³¹-1，有效数字32位
float：表示整数及小数，范围 士[2^-126 ~~ 2⁺¹²⁷×（2-2^-23）]，有效数字23+1=24位

int→float：可能损失精度
float →int：可能溢出及损失精度