poj 3517 And Then There Was One

约瑟夫循环问题：

Josephus假设n个竞赛者排成一个环形，依次顺序编号1，2，…，n。从某个指定的第1号开始，沿环计数，每数到第m个人就让其出列，且从下一个人开始重新计数，继续进行下去。这个过程一直进行到所有的人都出列为止。最后出列者为优胜者。

无论是用链表实现还是用数组实现来解约瑟夫问题都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较麻烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是（m%n）-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k      --> 0

k+1    --> 1

k+2    --> 2

...

...

k-2    --> n-2

 

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根
据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x1=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的
情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！

显然得到递推公式

F[0]=0;

F[n]=(F[n-1]+k)%n

 方法二：用线段树模拟：

View Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<set>

#include<map>

#include<cstring>

#include<vector>

#include<string>

#define LL long long

using namespace std;

class Node

{

public:

      int l,r,sum;    

}node[40024];

void build( int l , int r , int cnt )

{

    node[cnt].l = l;

    node[cnt].r = r;

    node[cnt].sum = r - l + 1;

    if( l == r ) return;

    int mid = ( l + r )>>1;

    build( l , mid , cnt*2 );

    build( mid + 1 , r ,cnt*2+1 );

}

int delete_node( int s , int c , int place ,int k ,int n , int cnt )

{

    node[cnt].sum --;

    if( node[cnt].l == node[cnt].r )

    {

           if( c == n )

           {

            return node[cnt].l;        

        }

        place -- ;

        place = ( place + k )%( n - c );

        if( place == 0 ) place = n - c;

        return place;

    }

    if( node[2*cnt].sum >= s )

        return delete_node( s , c , place ,k , n , cnt*2 );

    else

    {

        s -= node[2*cnt].sum;

        return delete_node( s , c, place, k ,n ,cnt*2+1 );    

    }    

}

int main( )

{

   int n , m , k;

   while( scanf( "%d %d %d",&n,&k,&m ),n|m|k )

   {

       build( 1 , n ,1 );

       for( int i = 1 ;i <= n ; i ++ )

       {

           m = delete_node( m , i , m , k , n , 1 );        

       }

       printf( "%d\n",m );        

   }

   return 0;    

}

 

View Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<queue>

#include<set>

#include<map>

#include<cstring>

#include<vector>

#include<string>

#define LL long long

using namespace std;



int main(  )

{

    int f[10024];

    int n,m,k;

    while( scanf( "%d %d %d",&n ,&k,&m) , n|k|m )

    {

        f[0] = 1;

        for( int i = 2 ; i < n ; i ++ )

        {

            f[i] = ( f[i-1] + k )%i;    

        }

        printf( "%d\n",(f[n-1] + m)%n + 1 );    

    }

    //system( "pause" );

    return 0;

}